הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן"

===שאלה 1===

לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות <math>C_1(A),C_2(A),C_3(A)</math>

שמקיימות

<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_1(A) = \begin{bmatrix} 2 \\  4 \end{bmatrix} </math>

<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_2(A) = \begin{bmatrix} 2 \\  4 \end{bmatrix} </math>

<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_3(A) = \begin{bmatrix} 3 \\  6 \end{bmatrix} </math>

כך שקיבלנו 3 משוואות, כל אחת בשני נעלמים.

אם נפתור את המשוואה הראשונה

<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 2 & 4 & \mid & 4 \end{bmatrix} \overset{R_2=R_2-2R_1}{\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix}
</math>

נראה שיש משתנה חופשי אחד (ואין שורות סתירה) ולכן יש <math>7</math> פתרונות.

אותה הדבר קורה בשביל שאר המשוואות ולכן בסך הכל יש 

<math>7^3</math> פתרונות.


===שאלה 2===

<math>A</math> היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.

אם נסמן ב E_1,\ldtos,E_5 את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם

<math>E_5E_4E_3E_2E_1A=I</math>

ולכן <math>A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I</math>

כלומר, אם נבצע את הפעולות ההפוכות בסדר הפוך על <math>I</math>, נגיע ל <math>A</math>.

הפעולות ההפוכות בסדר הפוך הן:

<math>R_1 \leftrightarrow R_5</math>

<math>R_1 = R_1+2R_2</math>

<math>R_1 \leftrightarrow R_3</math>

<math>R_1 = R_1 -R_2</math>

<math>R_1 = \frac{1}{2} R_1</math>

ולכן קל לחשב ש

<math>A=\begin{bmatrix}

 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\

 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\

 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}</math>


היות ו 

<math>A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I</math>

נקבל ש 

<math>A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I</math>

כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על <math>I</math> כדי להגיע ל <math>A^-1</math>

לכן קל לחשב ש

<math>A^-1=\begin{bmatrix}

 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

 0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\

\end{bmatrix}</math>


היות ו <math>A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I</math> נקבל ש

<math>(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}A^-1=I</math>

כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את <math>A^-1</math> הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:

<math>R_1 \leftrightarrow R_5</math>

<math>R_1 = R_1+2R_2</math>

<math>R_1 \leftrightarrow R_3</math>

<math>R_1 = R_1 -R_2</math>

<math>R_1 = \frac{1}{2} R_1</math>

(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את <math>A^-1</math> לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)