הצגת המקור של הדף "קוד:גבולות חלקיים"

\subsection{תתי סדרות}
\begin{definition}
תהי $A\subseteq \mathbb{N} $ אינסופית אז הצמצום של הסדרה $ x_n:\mathbb{N}\to \mathbb{R} $ אל הקבוצה A נקראת תת סדרה של $x_n$. עוד דרך להסתכל על זה היא לקחת סדרה חד חד ערכית של טבעיים שמונוטונית עולה, $n_k$ (לדוגמה $n(k)=2k $ היא סדרת הזוגיים $2,4,6,\cdots $) ואז להסתכל על $f(n(k)) $ או $ x_{n_k} $ .
\end{definition}

\begin{example}
נסתכל על הסדרה $1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots $ נסתכל על הסדרה שנמצאת במקומות הזוגיים, כלומר ניקח את 
$A=\mathbb{N}_{\text{even}} $
ואז $n(k)=2k$ ו- $x_{n_k}$ נראית ככה: $0,0,0,0,\cdots $ . הסדרה המקורי לא מתכנסת, אבל תת הסדרה הזאת כן מתכנסת, ל-0. זה הרעיון של גבול חלקי.
\end{example}

\subsection{גבולות חלקיים}
\begin{definition}
$l \in \mathbb{R} $ נקרא גבול חלקי של סדרה אם קיימת תת סדרה שלה שמתכנסת ל- $l$
\end{definition}

\begin{thm}
אם $x_n \to L$ אז כל תת סדרה שלה מתכנסת ל-$L$.
\end{thm}

\begin{proof}
תהי תת סדרה $x_{n_k}$ ויהי אפסילון גדול מ-0. עפ"י הנתון$\exists n_0 \forall n>n_0 |x_n-L|<\epsilon $ . ידוע ש- $n_k$ סדרה חח"ע מונוטונית עולה של טבעיים, ולכן היא לא חסומה וקיים $k_0 $ כך ש- $\forall k>k_0: n_{k_0} > n_0 $ . מכאן ש- $ \forall k>k_0 : |x_{n_k}-L|<\varepsilon $ 
\end{proof}

\begin{thm}
תהי סדרה שכל תת סדרה שלה מתכנסת ל- $L$, אזי $x_n \to L$.
\end{thm}

\begin{proof}
נניח בשלילה שהסדרה לא מתכנסת ל- $L$, אזי $\exists_{\epsilon>0}\forall_{N} \exists_{n>N} : |x_n-L|\geq \epsilon $ . אם כך, נבנה תת סדרה $x_{n_k} $ באופן הבא: לכל $N$ קיים $n>N$ שעבורו $|x_n-L|\geq \epsilon $ ולכן ניקח את אותם $n$ים עבור $N=1,2,3,\cdots $ ואלה יהיו ה- $n_k $. באופן הזה נקבל תת סדרה שהמרחק בין איבר בה ל-$L$ גדול או שווה לאפסילון אבל זה סותר את הנתון שכל תתי הסדרות שואפות ל- $L$.
\end{proof}

\subsection{קשר בין גבולות חלקיים לגבול עליון ותחתון}
\begin{thm}
כל גבול חלקי של סדרה הוא בין הגבול התחתון שלה לגבול העליון שלה.
\end{thm}

\begin{proof}
יהי $l$ גבול חלקי אז קיימת תת סדרה $x_{n_k} \to l$. מתקיים ש- $l_{n_k}\leq x_{n_k} \leq L_{n_k} $ וממשפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש.
\end{proof}

\begin{thm}
הגבול העליון והתחתון הם גבולות חלקיים
\end{thm}

\begin{proof}
$L_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\} $ ואז לכל $k$ מתקיים $\exists_{n_k} : L_k-\frac{1}{k}<x_{n_k}<L_k $ ואז קיימת תת סדרה מונוטונית שלפי משפט הסנדוויץ' מתכנסת לגבול העליון. עבור הגבול התחתון באופן אנלוגי.
\end{proof}

\subsection{משפט בולצאנו ווירשטראס}
\begin{thm}
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת
\end{thm}

\begin{proof}
$-M\Rightarrow x_n\leq M \Rightarrow -M\leq l_n \leq M$ ואז $l_n$ מונו' עולה וחסומה ומכאן שמתכנסת, אז הגבול התחתון קיים, והוא גבול חלקי, ולכן יש תת סדרה מתכנסת.
\end{proof}