הצגת המקור של הדף "קוד:ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של אופרטורים"

\begin{definition}

\textbf{אופרטור לינארי} $T:V\rightarrow V$ הוא העתקה 
לינארית מ-$V$ לעצמו.

\end{definition}

\subsection{הגדרת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים והקשר למטריצות המייצגות}

\begin{definition}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. אומרים ש-$
\lambda \in\mathbb{F}$ הוא \textbf{ערך עצמי} (ע"ע) של האופרטור $T$
אם קיים
$0\ne v\in V$ שעבורו $Tv=T(v)=\lambda v
$. 
הוקטור $v$ נקרא \textbf{וקטור עצמי} (ו"ע) 
של $T$ הקשור ל-$\lambda $.

\end{definition}

המשמעות זהה למטריצות - אילו וקטורים האופרטור מותח או מכווץ.

\begin{thm}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, 
יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} $ בסיס 
של $V$ ותהי $A$ המטריצה 
המייצגת של $T$ יחסית ל-$B$
. אזי אם $\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של 
$T$, הוא גם ערך עצמי של $A$
.

\end{thm}

\begin{proof}

נסמן
$$\left [ v \right ]_B=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1\\ 
\vdots\\ 
\alpha_n
\end{matrix} \right )$$
$A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ 
יחסית ל-$B$, ולכן $Tv=A\cdot \left [ v \right ]_B$
. $\lambda$ ע"ע של $T$, אזי קיים
$v\neq 0$ כך ש-$Tv=\lambda v$, זאת אומרת 
$A\cdot\left [ v \right ]_B=\lambda \left [ v \right ]_B$, 
ולכן
$\lambda$ ע"ע של $A$.

\end{proof}

\subsection{אלגוריתם למציאת ערכים עצמיים של אופרטור}

\begin{enumerate}
\item נבחר בסיס $B$ של $V$.

\item נחשב את המטריצה המייצגת $A$.

\item נרכיב את המשוואה $\det\left(\lambda I-A\right)=0$. זוהי משוואה ממעלה $n$.

\item מחפשים פתרונות $\lambda_1,\dots,\lambda_s$.
\end{enumerate}