הצגת המקור של הדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול"

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות| חזרה לסדרות]]

==גבול של סדרה==
===ההגדרה המדויקת של סדרה===
<font size=4 color=#3c498e>
'''הגדרה.''' 
</font>
בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים. 

באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי <math>1</math> נקראת האיבר הראשון של הסדרה, התמונה של <math>2</math> היא האיבר השני וכן הלאה.

===גבול של סדרה===
תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,\ldots</math>, (כך ש <math>a_1,a_2,a_3,\ldots\in\R</math>). 

לדוגמא: 

<math>\bigg\{\frac1{2^n}\bigg\}_1^{\infty}=\frac12,\frac14,\frac18,\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייק:

====הגדרת הגבול====
<font size=4 color=#3c498e>
'''הגדרה.''' 
</font>
תהי <math>a_n</math> סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\R</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>N_\epsilon\in\N</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math>.

במקרה זה מסמנים <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> .

====הסבר ההגדרה====
נתרגם את זה למילים. למדנו ש<math>\epsilon>0</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי <math>N_\epsilon\in\N</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה <math>L</math> על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>a_n</math> 

אם '''לכל''' אורך (<math>\epsilon>0</math>) [סיר]

'''קיים''' מקום בסדרה (<math>N_\epsilon\in\N</math>) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_\epsilon</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה והנקודה <math>L</math> קטן מהאורך <math>\epsilon</math> (<math>|a_n-L|<\epsilon</math>) [מתאים לו]

===דוגמאות===
<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.''' 
</font>
מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-1}{n}</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הנו <math>1</math>. נוכיח זאת.

'''יהי''' <math>\epsilon>0</math>. (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעתים תכופות. מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' <math>\epsilon</math>, אם נוכיח אותה ל- <math>\epsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי הסדרה קרובים לאחד עד כדי <math>\epsilon</math> . כלומר:

:<math>\bigg|\frac{n-1}{n}-1\bigg|<\epsilon</math>

נפתח את הביטוי.

:<math>\bigg|\frac{n-1}{n}-1\bigg|=\bigg|-\frac1{n}\bigg|=\frac1{n}</math>

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\frac1{n}<\epsilon</math> . זה נכון אם"ם <math>n>\frac1{\epsilon}</math> .

נבחר, אפוא, <math>N_\epsilon>\frac1{\epsilon}</math> כלשהו (מותר כיון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>n>N_\epsilon>\frac1{\epsilon}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל- <math>1</math> עד כדי <math>\epsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>


<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.''' 
</font>
הוכיחו לפי הגדרה כי מתקיים: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\frac13</math>


<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.''' 
</font>
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\sqrt[n]{n}</math>

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות <math>1</math>. כעת, יהי <math>\epsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי הסדרה קרובים ל- <math>1</math> עד כדי <math>\epsilon</math> . כלומר, <math>|a_n-1|<\epsilon</math> .

זה שקול ל- <math>-\epsilon<a_n-1<\epsilon</math> 

זה שקול ל- <math>1-\epsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilon</math>

כיון ש- <math>n\ge 1</math> הצד השמאלי טריוויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilon</math>

כלומר, אנו רוצים שיתקיים <math>n<(1+\epsilon)^n</math>

נביט בביטוי <math>(1+\epsilon)^n=(1+\epsilon)\cdot(1+\epsilon)\cdots (1+\epsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\epsilon</math> כפול <math>\epsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> איברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים:

:<math>(1+\epsilon)^n=\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2+K</math> 

(כאשר <math>K</math> הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)

אם כך, <math>\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math>. לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.

:<math>n<\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2</math>

:<math>1<\frac{n-1}{2}\epsilon^2</math>

:<math>n-1>\frac{2}{\epsilon^2}</math>

:<math>n>\frac{2}{\epsilon^2}+1</math>

ומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסוים בסדרה אי-השוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.

אם כן, הוכחנו כי

:<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> . <math>\blacksquare</math>

==שלילת גבול==
'''שלילת הגבול.''' 
:L '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\epsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\epsilon</math> .


<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.''' 
</font>
הוכח שלסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> לא קיים גבול.

נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> ממשי כלשהו. נניח עוד כי <math>L</math> אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).<br>
ניקח <math>\epsilon = 1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' <math>\epsilon</math>). כעת, יהי <math>N\in\N</math> וניקח <math>n</math> אי-זוגי גדול ממנו. במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\ge 1=\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L</math> אינו שלילי.) <math>\blacksquare</math>

==אריתמטיקה (חשבון) של גבולות==
'''משפט.''' תהי <math>a_n\to L</math> (סדרה השואפת לגבול <math>L</math>) ותהי <math>b_n\to K</math> אזי:
*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=L\pm K</math>
*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=L\cdot K</math>
*אם <math>K\ne 0</math> אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{K}</math>

<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.''' 
</font>
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\frac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math>.

'''פתרון'''.

נחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math> . נקבל <math>a_n=\frac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}</math>. חזקות שליליות של <math>n</math> שואפות ל- <math>0</math> ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה ל- <math>\frac36=\frac12</math>.


<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.''' 
</font>

נניח <math>a_n\to 0</math> ולסדרה <math>b_n</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>c_n:=a_n\cdot b_n</math>?

תשובה: לא. כל האפשרויות מתקבלות:
*<math>a_n=\frac1{n}\ ,\ b_n=(-1)^n</math> אזי 
:<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0</math>

*<math>a_n=\frac1{n}\ ,\ b_n=n</math> אזי
:<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1</math>

*<math>a_n=\frac1{n}\ ,\ b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אזי
:<math>\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\bigg[(-1)^n+1\bigg]</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)


<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל חשוב מאד.''' 
</font>
תהי סדרה <math>a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M</math> כך שלכל מקום בסדרה <math>n</math> מתקיים <math>|b_n|<M</math> . ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

:הוכח: <math>a_n\cdot b_n\to 0</math>

'''הוכחה.''' יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\bigg|a_n\cdot b_n-0\bigg|<\epsilon</math> .

:<math>|a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot |b_n|\leq M\cdot |a_n|</math>. מכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n</math> שואפת ל- <math>0</math>, יש מקום מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\frac{\epsilon}{M}</math> (כיון ש<math>\frac{\epsilon}{M}</math> הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_n\cdot b_n|<M\cdot\frac{\epsilon}{M}=\epsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

<font size=4 color=#a7adcd>
'''דוגמא.''' 
</font>
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin(n)}{\ln(n)}=0</math>


<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.''' 
</font>
מצא את הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]</math>

'''פתרון.'''

<math>\lim_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}=0</math>

==אי-שוויון הממוצעים==
כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי-שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה):

לכל <math>n</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,\ldots,x_n</math> מתקיים:

<math>\frac{n}{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n} \le \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math>

הביטוי מימין נקרא "ממוצע חשבוני", הביטוי האמצעי נקרא "ממוצע הנדסי" והביטוי השמאלי נקרא "ממוצע הרמוני".

'''טענה''' - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד!

אם <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזי מתקיים:
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n}=L</math> .


'''משפט.'''<br>
תהי <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה 
<math>\{\sqrt[n]{a_n}\}^\infty_{n=1}</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

'''הוכחה:'''<br>
נגדיר סדרה <math>\{b_m\}^{\infty}_{n=1}</math> על-ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math>. זוהי סדרה של מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים:

<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\cdot b_2\cdots b_n}=\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

ברור כי

<math>b_1\cdot b_2\cdots b_n=\frac{a_1}{1}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdots\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math>

ולכן קיבלנו כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . <math>\blacksquare</math>


כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> .

'''הוכחה:'''<br>
אם נרשום <math>a_n=n</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים:

<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math> . <math>\blacksquare</math>


<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.''' 
</font>
תהי <math>\{x_n\}</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>a</math> .

א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>|L|\le 1</math>.
 
'''פתרון.'''<br>
אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne 0</math> נקבל <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math>.

אחרת, <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> . מאי-שוויון המשולש נקבל <math>\Bigg|\bigg|\frac{x_{n+1}}{x_n}\bigg|-|L|\Bigg|\le \bigg|\frac{x_{n+1}}{x_n}-L\bigg|<\epsilon\ ,\ \forall n>N_\epsilon</math>.

נובע כי <math>|x_{n+1}|>(|L|-\epsilon)|x_n|\ ,\ \forall n>N_\epsilon</math>.

נניח כעת, בשלילה, כי <math>|L|>1</math>, ניקח <math>\epsilon = |L|-1</math> ונקבל כי <math>|x_{n+1}|>|x_n|\ ,\ \forall n>N_\epsilon</math>

בסתירה לכך ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}|x_n|=0</math> . <math>\blacksquare</math>

 
ב. תנו דוגמה לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

'''פתרון.'''

נתבונן בסדרה 
<math>x_n=\left \{\begin{array}{cl}\frac1{n} & n~ {\rm odd}\\0 & n~{\rm even}\\\end{array}\right.</math>

ברור כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

==חוק הסנדוויץ'==
הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\le b_n\le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\lim a_n=\lim c_n =L</math> אזי בהכרח <math>\lim b_n = L</math> .


<font size=4 color=#a7adcd>
'''דוגמא.''' 
</font>
מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}</math>

'''פתרון.'''
:<math>3^n\le 2^n+3^n\le 3^n+3^n = 2\cdot 3^n</math>

לכן,
:<math>3=(3^n)^\frac1{n}\le (2^n+3^n)^\frac1{n}\le (2\cdot 3^n)^\frac1{n}=2^\frac1{n}\cdot 3</math>
כיון שמתקיים
:<math>\lim 2^\frac1{n}=1</math>


סה"כ שני צדי אי-השוויון מתכנסים ל- <math>3</math> ואז לפי חוק הסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל- <math>3</math>.

==התכנסות במובן הרחב==
דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.

<font size=4 color=#3c498e>
'''הגדרה.''' 
</font>
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\N</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</math> .

הערה: שימו לב ש-<math>M</math> בדומה ל- <math>\epsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\epsilon</math>. אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>-\infty</math> דומה עם שינויים קלים בהתאם.

<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.''' 
</font>
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\sqrt[n]{n!}</math>

'''פתרון.''' נוכיח כי סדרה זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.
:<math>n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots \frac{n}{2} \cdots n</math> (המקרה בו <math>n</math> אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו).
*נקטין את החצי הראשון של האיברים להיות <math>1</math>, ואת החצי השני של האיברים להיות <math>\frac{n}{2}</math> ונקבל:
:<math>n!\ge\frac{n}{2}\cdots\frac{n}{2}=\bigg(\frac{n}{2}\bigg)^\frac{n}{2}</math>
ולכן,
:<math>\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt[n]{\bigg(\frac{n}{2}\bigg)^\frac{n}{2}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\to\infty</math>

קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל איבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.