הצגת המקור של הדף "פתרון משוואה ממעלה 4"

=לפני שמתחילים=

תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^4</math> הוא <math>1</math> (אחרת פשוט נחלק בו).

תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^3</math> הוא <math>0</math>. למה? נניח נתון הפולינום <math>x^4+ax^3+bx^2+c+d</math> אז נעשה הצבה <math>x=y-\frac{a}{4}</math> ונקבל פולינום <math>y^4+(*)y^2+\dots</math>.

סך הכל נניח שאנחנו צריכים לפתור פולינום מהצורה <math>x^4+px^2+qx+r=0</math>.

=דרך א=

ננסה לפרק את הפולינום לגורמים ריבועיים
<math>x^4+px^2+q+r=^{?} (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)</math>

נפתח ונשווה מקדמים ונקבל את המערכת: <math>\begin{cases} 0=a+c \\ p=b+d+ac \\ q=ad+bc \\ r=bd \end{cases}</math>.

משלושת המשוואות הראשונות אפשר לקבל את <math>b,c,d</math> כביטוי של <math>a</math>, ואז הצבה במשוואה הרביעית נותנת פולינום <math>a^6+2pa^4+(p^2-4r)a^2-q^2=0</math> --- פולינום מדרגה '''3''' ב<math>a^2</math> שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.

=דרך ב=
ננסה לעשות השלמה לריבוע, תוך שאנחנו מוסיפים משתנה <math>u</math>:

<math>x^4+px^2+qx+r=(x^2+\frac{p}{2}+u)^2-(\frac{p}{2}})^2-u^2-pu-2ux^2+qx+r=0</math>

נעביר אגפים <math>(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=2ux^2-qx+(\frac{p}{2}})^2+pu+u^2-r</math>

נעשה השלמה לריבוע גם לצד השני (כאשר המטרה שלנו היא להגיע למשוואה מהצורה <math>(*)^2=(#)^2</math> וכך לקבל פולינום מדרגה קטנה יותר.)

<math>(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=(\sqrt{2u}x-\frac{q}{2\sqrt{2u}})^2-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2}})^2+pu+u^2</math>

כדי שבאמת נקבל משוואה מהצורה <math>(*)^2=(#)^2</math> נרצה ש
<math>-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2}})^2+pu+u^2=0</math>

וזה פולינום מדרגה '''3''' ב <math>u</math> שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.