הצגת המקור של הדף "דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי"

===תרגיל 1===
'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

'''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת. 


<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math>

<math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|<</math>

<math>< \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1]</math> (לפי הנתון)

<math>=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0</math>


===תרגיל 2===
'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|</math>, עבור <math>0<p<1</math> הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

'''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

דבר ראשון, נשים לב ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|\leq p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq ...\leq p^{n-1}|a_2-a_1|</math>. נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p^{n-1}d</math>



כעת,

<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math>

<math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|\leq</math>

<math>\leq p^{m-2}d+...+p^{n-1}d = p^{n-1}d(p^{m-n-1}+...+1)=p^{n-1}d(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}) \leq p^{n-1}\frac{d}{1-p} \rightarrow 0 </math> (לפי מה שהראנו)

מכיוון ש<math>p^n\rightarrow 0</math> עבור p<1.