הצגת המקור של הדף "חדוא 2 - ארז שיינר"

[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2]]

=תקציר ההרצאות=

==פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים==
*הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי <math>F'=f</math>

*האינטגרל הלא מסויים <math>\int f(x)dx</math> מסמן פונקציה קדומה של f.

*תהי F קדומה של f, אזי קבוצת כל הקדומות של f שווה ל<math>\{F+c|c\in\mathbb{R}\}</math>

*אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.

===שיטות למציאת קדומה===
*תהיינה f,g פונקציות בעלות קדומות, אזי:
**<math>\int (cf) = c \int f</math>
**<math>\int (f+g) = \int f + \int g</math>


====אינטגרציה בחלקים====
<math>\int f'g = fg - \int fg'</math>

====שיטת הההצבה====
<videoflash>1KW4tQQ05mU</videoflash>

====פונקציה רציונאלית====

*הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים
<videoflash>K5c-i9GIF4s</videoflash>


*פירוק לשברים חלקיים
<videoflash>im1mjhXXFCo</videoflash>


*חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
**נסמן <math>I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt</math>
**אזי <math>I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n</math>
כאשר תנאי ההתחלה הוא <math>I_1=\arctan(t)</math>

<videoflash>cexA1w14A-I</videoflash>


====הצבות אוניברסאליות====
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]

==פרק 2 - האינטגרל המסויים==

===סכומי דרבו ואינטגרל עליון ותחתון===

====הגדרת סכומי דרבו, אינטגרביליות והאינטגרל המסוים====
*<math>P=\{a=x_0<x_1<...<x_n=b\}</math> היא חלוקה של הקטע <math>[a,b]</math>


*תהי f חסומה בקטע, ותהי P חלוקה של הקטע.
*נסמן 
**<math>\displaystyle{M_k=\sup_{[x_{k-1},x_k]}(f)}</math>
**<math>\displaystyle{m_k=\sup_{[x_{k-1},x_k]}(f)}</math>
**<math>\Delta x_k= x_k-x_{k-1}</math>
*נגדיר
**סכום דרבו עליון <math>\displaystyle{\overline{S}(f,P)=\sum_{k=1}^nM_k\cdot \Delta x_k}</math>
**סכום דרבו תחתון <math>\displaystyle{\underline{S}(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\cdot \Delta x_k}</math>


*תהי f פונקציה חסומה בקטע.
*נסמן את קבוצת כל סכומי הדרבו העליונים על כל החלוקות של הקטע ב<math>\overline{X}</math>
*נסמן את קבוצת כל סכומי הדרבו התחתונים על כל החלוקות של הקטע ב<math>\underline{X}</math>
*נגדיר את האינטגרל העליון להיות <math>\displaystyle{\overline{\int_a^b}f=\inf (\overline{X})}</math>
*נגדיר את האינטגרל התחתון להיות <math>\displaystyle{\underline{\int_a^b}f=\sup (\underline{X})}</math>
*נגדיר שf אינטגרבילית בקטע אם <math>\displaystyle{\overline{\int_a^b}f=\underline{\int_a^b}f}</math>
*במקרה שf אינטגרבילית נגדיר את האינטגרל המסויים שלה להיות <math>\displaystyle{\int_a^bf=\overline{\int_a^b}f=\underline{\int_a^b}f}</math>


*דוגמא:
*פונקצית דיריכלה היא <math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\not\in\mathbb{Q}\end{cases}</math>
*<math>\displaystyle{\overline{\int_0^1}D=1}</math>
*<math>\displaystyle{\underline{\int_0^1}D=0}</math>
*לכן פונקצית דיריכלה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>.

<videoflash>n5d8o3BWFy4</videoflash>

====תכונות של סכומי דרבו והאינטגרל המסוים====
*<math>m(b-a)\leq \underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P)\leq M(b-a)</math>
<videoflash>WKSBz0eNfZc</videoflash>


*נגדיר את פרמטר של חלוקה להיות אורך תת הקטע הגדול ביותר:
*<math>\lambda(P)=\max \Delta x_k</math>


*תהי חלוקה <math>P</math> ותהי העדנה שלה <math>R=P\cup \{a\}</math>
*<math>0\leq \overline{S}(f,P)-\overline{S}(f,R)\leq \lambda(P)(M-m)</math>
*<math>0\leq \underline{S}(f,R)-\underline{S}(f,P)\leq \lambda(P)(M-m)</math>

<videoflash>Df7ziRE4mzA</videoflash>



*<math>\underline{S}(f,P)\leq \underline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{S}(f,R)</math>
<videoflash>pJ3xdPW7-7s</videoflash>

====התכנסות סכומי דרבו====

*התכנסות סכומי הדרבו העליונים לאינטגרל העליון
*תהי f פונקציה חסומה בקטע.
*תהי סדרת חלוקות של הקטע <math>P_n</math> כך ש <math>\lambda(P_n)\to 0</math>
*אזי <math>\displaystyle{\overline{S}(f,P_n)\to\overline{\int_a^b}f}</math>
*כמובן שבאופן דומה <math>\displaystyle{\underline{S}(f,P_n)\to\underline{\int_a^b}f}</math>
<videoflash>uu_FTfi2YG8</videoflash>

====פונקציות אינטגרביליות====

*פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו
<videoflash>M8WAEvvzaoI</videoflash>


*תהי f אינטגרבילית בקטעים <math>[a,b],[b,c]</math> אזי:
**היא אינטגרבילית בקטע <math>[a,c]</math>
**מתקיים כי <math>\displaystyle{\int_a^c f = \int_a^bf+\int_b^cf}</math>

*פונקציה חסומה בקטע סופי, ורציפה פרט למספר סופי של נקודות, אינטגרבילית בו

<videoflash>XpI34f-g0V0</videoflash>

===סכומי רימן===

*תהי f המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math> 
*תהי P חלוקה של הקטע
*תהי <math>C=\{c_1,...,c_n\}</math> קבוצת נקודות בתתי הקטעים <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math>
*נגדיר את סכום הרימן <math>\displaystyle{S_R(f,P,C)=\sum_{k=1}^n f(c_k)\cdot \Delta x_k}</math>


*אומרים שf אינטגרבילית רימן בקטע אם קיים גודל סופי <math>S\in\mathbb{R}</math> כך ש:
**לכל סדרת חלוקות <math>P_n</math> המקיימת <math>\lambda(P_n)\to 0</math>
**ולכל סדרת בחירת נקודות <math>C_n</math> המתאימה לחלוקות
**מתקיים כי <math>S_R(f,P_n,C_n)\to S</math>
*במקרה שf אינטגרבילית רימן בקטע מסמנים <math>S=\int_a^bf</math>


*משפט: f אינטגרבילית רימן בקטע אם"ם f חסומה בקטע ואינטגרבילית (לפי דרבו)
*כמו כן, במקרה שהפונקציה אינטגרבילית, האינטגרל המסויים שווה לפי רימן ולפי דרבו.

<videoflash>gigeMtUkIEg</videoflash>


====אורך עקומה====
*<math>L=\int_a^b \sqrt{(f'(x))^2+1}dx</math>
<videoflash>wYbQTNZOrII</videoflash>

===אי שיוויון המשולש לאינטגרלים===
*<math>\left|\int_a^b f\right|\leq \int_a^b |f|</math>
<videoflash>34cLtMW88bQ</videoflash>

==פרק 3 - הקשר בין האינטגרל המסויים ללא מסויים==
===המשפט היסודי של החדו"א===
*עבור פונקציה אינטגרבילית, בנקודות בהן היא רציפה מתקיים כי <math>\displaystyle{S'(x)=\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x)}</math>
<videoflash>1BFHzzCBu38</videoflash>

===נוסחאת ניוטון לייבניץ===
*תהי f אינטגרבילית וF קדומה אזי <math>\displaystyle{\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)}</math>
<videoflash>0SWk8jqaFDY</videoflash>

===הגדרת המספר π, וחישוב היקף ושטח מעגל===
<videoflash>PaoWoULlBdo</videoflash>

===נפח גוף סיבוב===
*<math>\int_a^b \pi f^2(x)dx</math>
<videoflash>UDVDyGl8yok</videoflash>

==פרק 4 - אינטגרלים לא אמיתיים (מוכללים)==

===השופר של גבריאל===
<videoflash>LmfgR6pokXw</videoflash>

===הגדרת אינטגרלים לא אמיתיים===
*תהי f אינטגרבילית בקטע <math>[a,t]</math> לכל <math>t\geq a</math> אזי:
**<math>\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)dx</math>
*תהי f שאינה חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ואינטגרבילית בקטע <math>[t,b]</math> לכל <math>a<t<b</math> אזי:
**<math>\int_a^b f(x)dx = \lim_{t\to a^+} \int_t^b f(x)dx</math>
<videoflash>QbObB9rYw4Q</videoflash>


===מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים===
*מבחן ההשוואה הראשון:
**תהיינה <math>f\geq g \geq 0</math> עבורן מוגדר אינטגרל לא אמיתי באותו הקטע עם אותה הנקודה הבעייתית אזי-
**אם <math>\int f</math> מתכנס בקטע, גם <math>\int g</math> מתכנס בקטע
*מבחן ההשוואה הגבולי:
**תהיינה <math>f,g\geq 0</math> עבורן מוגדר אינטגרל לא אמיתי באותו הקטע עם אותה הנקודה הבעייתית.
**נחשב בנוסף את הגבול בנקודה הבעייתית <math>\lim \frac{f}{g} =c</math>.
**אזי:
***אם <math>c=\infty</math>, אזי אם <math>\int f</math> מתכנס גם <math>\int g</math> מתכנס.
***אם <math>c=0</math> אזי אם <math>\int g</math> מתכנס גם <math>\int f</math> מתכנס.
***אם <math>0<c<\infty</math> אזי האינטגרלים חברים <math>\int f \sim \int g</math> כלומר שניהם מתכנסים או שניהם מתבדרים.

<videoflash>cCjIuWrjacE</videoflash>

===התכנסות בהחלט וקריטריון היינה===
*קריטריון היינה:
**אינטגרל לא אמיתי מקיים קריטריון היינה אם לכל שתי סדרות בקטע השואפת לנקודה הבעייתית מתקיים כי:
**<math>\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx \to 0</math>

*אינטגרל לא אמיתי מתכנס אם"ם הוא מקיים את קריטריון היינה.

*פונקציה <math>f</math> עליה מוגדר אינטגרל לא אמיתי נקראת מתכנסת בהחלט בקטע אם <math>\int |f|</math> מתכנס בקטע.

*פונקציה מתכנסת בהחלט בקטע מתכנסת.
**<math>\left|\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx\right| \leq \left|\int_{a_n}^{b_n} |f(x)|dx\right|\to 0</math>

<videoflash>bl5CxcggxNY</videoflash>

===מבחן דיריכלה===
*תהי פונקציה <math>f</math> אשר מקיימת 3 תנאים בקטע <math>[a,\infty)</math>
**<math>f</math> מונוטונית יורדת
**<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=0</math>
**הנגזרת <math>f'</math> רציפה.
*תהי בנוסף פונקציה <math>g</math> אשר מקיימת 2 תנאים באותו הקטע:
**<math>g</math> רציפה.
**ל<math>g</math> יש קדומה <math>G</math> חסומה.
*אזי האינטגרל <math>\displaystyle{\int_a^\infty f(x)}dx</math> מתכנס.
<videoflash>wU73--emtSg</videoflash>

==פרק 5 - סדרות וטורי פונקציות==

===פונקצית הגבול===
<videoflash>4ageCd9gsmg</videoflash>



===העשרה - סוגי סכימה שונים===
<videoflash>54MQXVhM9vU</videoflash>


===התכנסות במ"ש===
*בדיקת התכנסות במ"ש:
**נחשב את פונקצית הגבול. בשלב זה x קבוע וn שואף לאינסוף.
**נחשב את סדרת החסמים <math>d_n=\sup_A |f(x)-f_n(x)|</math>. בשלב זה n קבוע, וx נע בקטע A.
**יש התכנסות במ"ש אם"ם <math>d_n\to 0</math>.
<videoflash>suuh6irjF7c</videoflash>

*אם סדרה מתכנסת במ"ש בקטע, וכל הפונקציות בסדרה רציפות בנק' מסויימת, גם פונקצית הגבול רציפה באותה נקודה.
<videoflash>IpE97-gLUuU</videoflash>

====אינטגרציה וגזירה איבר איבר====
*סדרת פונקציות אינטגרביליות המתכנסת במ"ש, מתכנסת לפונקציה אינטגרבילית.
*כמו כן, במקרה זה, סדרת שטחי הפונקציות מתכנסת לשטח פונקצית הגבול.
*עבור טור פונקציות אינטגרביליות המתכנס במ"ש מתקיים כי:
**<math>\int_a^b \left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right) dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x)dx</math>
<videoflash>vtD_RQRQE74</videoflash>


*סדרת פונקציות המתכנסת בנקודה, שנגזרותיה רציפות ומתכנסות במ"ש בA מקיימת בA:
**<math>f_n\to f</math> וגם <math>f'_n\to f'</math>
*טור פונקציות המתכנס בנקודה, שנגזרותיו רציפות וטור הנגזרות מתכנס במ"ש בA מקיים בA:
**<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)' = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x)</math>
<videoflash>fLqrKPT2xVw</videoflash>

====מבחן הM של ויירשטראס====
*תהי סדרת פונקציות החסומה בערך מוחלט ע"י סדרת מספרים בקטע A:
**<math>|f_n(x)|\leq M_n</math>
*אזי אם טור המספרים <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס, טור הפונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש בקטע A.

<videoflash>Cle9N3p4_UY</videoflash>

==פרק 6 - טורי טיילור וקירובים==
===פולינום טיילור===
*הקדמה
<videoflash>0bqTszhCIV8</videoflash>


*פולינום טיילור 
**<math>P_n(f,a)(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k</math>
*שארית טיילור
**<math>R_n(f,a,x) = f(x)-P_n(f,a)(x)</math>


*שארית טיילור בצורת לגראנז'
*תהי f הגזירה n+1 פעמים בסביבה של a ותהי נקודה בסביבה זו. אזי קיימת נקודה c בין a לx כך שהשארית מקיימת:
**<math>R_n(f,a,x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

<videoflash>bk5tm-vAR7c</videoflash>


*הוכחת שארית טיילור בצורת לגראנז'
**נפעיל את משפט קושי על הפונקציות <math>h(t)=R_n(f,t,x)</math> ו<math>g(t)=(x-t)^{n+1}</math> בקטע שבין a ל x.

<videoflash>pMV8RuYl06M</videoflash>


*שארית פיאנו
*תהי <math>f</math> הגזירה <math>n</math> פעמים בסביבה של <math>a</math>. אזי:
**<math>R_n(f,a,x)=o\left((x-a)^n\right)</math>
**כלומר
**<math>\lim_{x\to a} \frac{R_n(f,a,x)}{(x-a)^n} = 0</math>

<videoflash>KRxKnDA_m4Q</videoflash>


===טורי חזקות/טיילור/מקלורן===
*הגדרת טורי חזקות <math>\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n}</math>

====רדיוס התכנסות====
*הגדרת רדיוס התכנסות <math>R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</math>
*אם הגבול של המנה קיים במובן הרחב, אזי <math>R=\lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|</math>


*רדיוס ההתכנסות אומר לנו על תחום ההתכנסות:
**אם <math>R=\infty</math> אזי הטור מתכנס בהחלט בכל הממשיים.
**אם <math>R=0</math> הטור מתכנס רק עבור <math>x=a</math>.
**אם <math>0<R<\infty</math> אזי 
***הטור מתכנס בהחלט בתחום <math>\left(a-R,a+R\right)</math>.
***הטור מתבדר כאשר <math>|x-a|>R</math>.
***את שני הקצוות <math>x=a\pm R</math> צריך להציב, ולבחון את התכנסות טורי המספרים שנקבל באמצעות מבחני התכנסות.


<videoflash>HgyjO0-wdmE</videoflash>



*דוגמא לחישוב תחומי ההתכנסות של טורי החזקות
**<math>\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}x^{2n}}</math>
**<math>\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}(x+2)^{2n}}</math>


*עבור טור חזקות מהצורה <math>\sum a_n (x-a)^{b_n}</math> מתקיים כי רדיוס ההתכנסות הינו <math>R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[b_n]{|a_n|}}</math>

<videoflash>SjQGanyldmk</videoflash>


====פיתוח טורי טיילור====

*גזירה ואינטגרציה איבר איבר של טורי חזקות

*יהי טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R>0</math>
*<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n</math>
*אזי לכל x המקיים <math>|x-a|<R</math> מתקיים כי:
**<math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\cdot a_n(x-a)^{n-1}</math>
**<math>\int_a^xf=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}</math>

<videoflash>DARWl_gkXQ8</videoflash>

*פיתוח טורי טיילור באמצעות גזירה ואינטגרציה
**<math>e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...</math>
**<math>ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+... </math>
**<math>arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...</math>

<videoflash>hMnl-4WAA_U</videoflash>

====יחידות וקיום טור טיילור====

*עבור פונקציה הגזירה אינסוף פעמים בסביבת הנקודה a טור הטיילור הוא:
**<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math>

*אם פונקציה שווה לטור חזקות בעל רדיוס התכנסות חיובי בקטע, אזי זה טור הטיילור שלה.

*ייתכן שפונקציה גזירה אינסוף פעמיים בכל הממשיים, טור הטיילור שלה בעל רדיוס התכנסות חיובי, ועדיין אינו מתכנס אליה פרט לנקודה סביבה פיתחנו.
*דוגמא:
**<math>f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}} & x\neq 0 \\ 0 & x=0\end{cases}</math>
**מתקיים כי <math>f^{(n)}(0)=0</math> לכל n.
**לכן טור הטיילור של הפונקציה הוא טור אפסים, אבל הפונקציה אינה שווה לאפס פרט לנקודה <math>x=0</math>.

<videoflash>1fDkXTPctkI</videoflash>


====טורי הטיילור של סינוס וקוסינוס, ואקספוננט של מספר מרוכב ====
*<math>\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...</math>
*<math>\cos(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...</math>


*נוכיח כי <math>e^{it}=cis(t)</math>
**<math>e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>
**'''נגדיר''' את e בחזקת מרוכב באמצעות טור הטיילור, ונציב:
**<math>e^{i\cdot t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^n}{n!}</math>
**נפריד לסכום האיברים במקומות הזוגיים והאי זוגיים.
**<math>e^{i\cdot t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^{2n+1}}{(2n+1)!}=</math>
**<math>=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}t^{2n} + i\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n+1}=\cos(t)+i\cdot \sin(t)</math>
*זה מוביל לזהות אוילר המפורסמת <math>e^{i\pi}+1=0</math>

<videoflash>KEnspLE5278</videoflash>


====משפט אבל על התכנסות בקצה התחום====



====קירובים והערכות שגיאה====
=====שיטות הערכות שגיאה - לגראנז', לייבניץ, חסימה על ידי טור הנדסי=====
*יהי טור <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
**קירוב מסדר k לטור הוא <math>\sum_{n=0}^{k-1} a_n</math>, זהו סכום k האיברים הראשונים.
**השגיאה עבור קירוב זה היא כמובן <math>R_k=\sum_{n=k}^\infty a_n</math>


*אם מדובר בטור לייבניץ, השגיאה מקיימת <math>|R_k|\leq |a_k|</math> לפי מבחן לייבניץ להתכנסות טורים.


*אם הטור חסום ע"י טור הנדסי
**<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n|\leq \sum_{n=0}^\infty c\cdot q^n</math>
*אזי השגיאה מקיימת:
**<math>|R_k|\leq \sum_{n=k}^\infty c\cdot q^n = c(\sum_{n=0}^\infty q^n - \sum_{n=0}^{k-1}q^n) = c(\frac{1}{1-q} - \frac{1-q^k}{1-q})=\frac{c\cdot q^k}{1-q} </math>

=====טור הטיילור של ההופכית של סינוס, וקירוב מהיר של π=====
*נביט בפונקציה <math>f(x)=\sqrt{1+x}</math>
*נוכיח באינדוקציה כי הנגזרת מסדר n הינה:
*<math>f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}</math>
**עבור n=1 אכן מתקיים כי <math>f'(x)=\frac{2}{4}(1+x)^{-\frac{1}{2}}</math>
**יהי n עבורו הטענה נכונה, צ"ל כי <math>f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n+2)!}{(2n+1)(n+1)!4^{n+1}}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>
**צ"ל <math>f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n+1)n!(n+1)4^n\cdot 4}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}
=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>
**אכן בעזרת הנחת האינדוקציה <math>f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)'(x)=\left(\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}\right)'=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>


*לכן טור המקלורן של <math>f(x)=\sqrt{1+x}</math> הינו <math>\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n}</math>
*על מנת להוכיח שהוא שווה לפונקציה, צ"ל שהשגיאה שואפת לאפס.
*יהי <math>-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}</math>, נוכיח שהשגיאה עבורו שואפת לאפס.
*<math>\left|R_{n-1}(f,0,x)\right| = \frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}\frac{1}{(1+c)^{\frac{2n-1}{2}}}|x|^n
\leq \frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}\frac{1}{(1-|x|)^{\frac{2n-1}{2}}}|x|^n</math>
*נחשב את גבול המנה של הביטוי שקיבלנו:
**<math>\frac{(2n+2)!}{(2n+1)((n+1)!)^24^{n+1}}\frac{|x|^{n+1}}{(1-|x|)^{\frac{2n+1}{2}}}\cdot 
\frac{(2n-1)(n!)^24^n}{(2n)!}\frac{(1-|x|)^{\frac{2n-1}{2}}}{|x|^n}=</math>
**<math>=\frac{(2n-1)(2n+2)}{4(n+1)^2}\frac{|x|}{1-|x|}\to \frac{|x|}{1-|x|} < \frac{|x|}{1-\frac{1}{2}}=2|x|<1</math>
*לכן לפי מבחן המנה השגיאה שואפת לאפס בתחום זה, וטור המקלורן מתכנס לפונקציה בתחום זה.


*הוכחנו שבתחום <math>\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)</math> מתקיים
*<math>\sqrt{1+x} = \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n} = 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}-...</math>
*נגזור ונקבל שבקטע מתקיים
*<math>\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!n}{(2n-1)(n!)^24^n}x^{n-1}</math>
*נבצע הזזת אינדקסים <math>k=n-1</math> ונקבל
*<math>\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}x^k</math>
*<math>\frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}=\frac{(-1)^{k}(2k)!(2k+1)(2k+2)(k+1)}{(2k+1)(k!)^2(k+1)^24^k\cdot 4}</math>
*סה"כ בתחום זה נקבל
*<math>\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{(n!)^24^n}x^n</math>
*נציב <math>-x</math> ונקבל באותו תחום <math>\frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^n</math>


*הערה - טורי הטיילור שפיתחנו כאן מתכנסים בעצם לפונקציות שלהן בתחום בין מינוס אחד לאחד, אך ההוכחה של זה מורכבת יותר ולא נחוצה לנו כרגע.


*כעת נציב <math>x^2</math> ונקבל שבתחום <math>\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)</math> מתקיים
*<math>-x</math> ונקבל באותו תחום <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^{2n}</math>
*נבצע אינטגרציה מ0 עד x ונקבל
*<math>\arcsin(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}x^{2n+1}=x+\frac{x^3}{6}+...</math>
*נציב <math>x=\frac{1}{2}</math> שנמצא בתחום ונקבל:
*<math>\frac{\pi}{6}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}\frac{1}{2^{2n+1}}</math>
*ולכן 
:::<math>\pi =\sum_{n=0}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n}</math>



*כעת המנה של הסדרה <math>a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}</math> היא 
**<math>\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^24^{n+1}}\cdot\frac{(n!)^24^n}{(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(2(n+1))^2}<1</math>
*לכן מדובר בסדרה יורדת שכל איבריה קטנים או שווים ל<math>a_1=\frac{1}{2}</math>
*לכן <math>\frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} = \frac{(2n)!}{(n!)^24^n}\cdot\frac{3}{(2n+1)4^n}\leq \frac{3}{2(2n+1)4^n}</math>
*לכן בקירוב <math>\pi</math> ע"י k האיברים הראשונים נקבל שגיאה:
**<math>|R_k|=\sum_{n=k}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} \leq \sum_{n=k}^\infty \frac{3}{2(2n+1)4^n}\leq</math> 
**<math>\leq\frac{3}{2(2k+1)}\sum_{n=k}\frac{1}{4^n} = \frac{3}{2(2k+1)}\frac{\frac{1}{4^k}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{(2k+1)4^k}</math>


*למשל, קירוב של 6 האיברים הראשונים יספק שגיאה קטנה מ<math>10^{-4}</math> כלומר רמת דיוק של 4 ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לפחות.
*<math>\pi\approx 3+\frac{3\cdot 2!}{3\cdot (1!)^2 \cdot 16}+\frac{3\cdot 4!}{5\cdot (2!)^2 \cdot 16^2}+
\frac{3\cdot 6!}{7\cdot (3!)^2 \cdot 16^3}+\frac{3\cdot 8!}{9\cdot (4!)^2 \cdot 16^4}+\frac{3\cdot 10!}{11\cdot (5!)^2 \cdot 16^5} </math>