הצגת המקור של הדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/מבחן דמה"

==הוראות==

פתרו כמה שיותר מן השאלות הבאות. פתרון נכון של שאלה מקנה 17 נקודות.

==1==
נגדיר שתי פונקציות 


::<math>g(x)=\begin{cases}x & x>1 \\ 0 & x=1 \\ |x+1| & x<1\end{cases}</math>


::<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & x>2 \\ 0 & x=2 \\ g(x) & x<2\end{cases}</math>


מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

::<math>f\Big( g(x)\Big) + x > |x-1|</math>


==2==

===א===
מצא את כל הפתרונות למשוואה

::<math>z^4=2-2i</math>


===ב===
הוכח כי <math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>

==3==

מצא את נקודת החיתוך בין הישר המאונך למישור שמשוואתו <math>x-y+2z=3</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math>, לבין המישור.

==4==
הוכח כי לכל <math>n\geq 2</math> מתקיים:

::<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math>

==5==
===א===
פתרו את האינטגרל הבא


::<math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}\mathrm dx</math>


רמז: הציבו <math>t=(1+x)^{1/6}</math>

===ב===
פתרו את האינטגרל הבא

::<math>\int ln(x)dx</math>

==6==

'''הגדרה''': פונקציה f נקראת חד-חד-ערכית אם מתקיים עבורה התנאי הבא:

:<math>\forall x_1\in \mathbb{R}\forall x_2\in\mathbb{R}:\Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\rightarrow (x_1=x_2)</math>

===א===
נסח תנאי שקול לכך ש f פונקציה ש'''אינה''' חד-חד-ערכית.

===ב===
קבע עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות אם היא חד-חד-ערכית. הוכח את קביעתך:

*<math>f(x)=x^2</math>

*<math>g(x)=x+1</math>

*<math>h(x)=sin(x)</math>

==7==

===א===
הוכח כי לכל שלוש קבוצות A,B,C מתקיים

::<math>A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math>

===ב===
הוכח כי לכל ארבע קבוצות A,B,C,D מתקיים

::<math>(A\backslash B)\cap (C\backslash D)\subseteq (A\cap C)\backslash (B\cap D)</math>