לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אי-שוויון הממוצעים
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=אי־שוויון הממוצעים= יהיו מספרים חיוביים <math>0<a_1,\ldots,a_n\in\R</math> אזי: :<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}</math> כאשר משמאל מופיע הממוצע ההרמוני, במרכז הממוצע ההנדסי (גאומטרי) ומימין הממוצע החשבוני (אלגברי). שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים <math>a_1=\cdots=a_n</math>. ===טענת עזר=== ראשית, נוכיח את הטענה הבאה: :יהיו <math>x_1,\ldots,x_n</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_n=1</math>. :אזי <math>x_1+\cdots+x_n\ge n</math>, ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1. עבור n=1 הטענה טריוויאלית. יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1. יהיו <math>x_1\le\cdots\le x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>. כיוון ש־<math>x_1</math> הוא המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הוא המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\ge1</math>. נסמן <math>x_1\cdot x_{n+1}=y_n</math>, אזי <math>x_2\cdots x_n\cdot y_n=1</math>, ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי <math>x_2+\cdots+x_n+y_n\ge n</math> ושוויון אם"ם כולם שווים 1. לכן אם נוכיח <math>x_1+\cdots+x_{n+1}\ge x_2+\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1</math>, נקבל <math>x_1+\cdots+x_{n+1}\ge n+1</math>. כעת נוכיח את אי־השוויון הרצוי :<math>x_1+\cdots+x_{n+1}\ge x_2+\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1</math>. זה נכון אם"ם :<math>x_1+x_{n+1}\ge x_1\cdot x_{n+1}+1</math> זה שקול לאי־שוויון :<math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)\le0</math> הוא נכון כיוון ש<math>x_1\le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\ge1</math>. כעת שוויון <math>x_1+\cdots+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי <math>x_1+\cdots+x_{n+1}=x_2+\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1=n+1</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)=0</math>. לכן <math>x_{n+1}=1</math> או <math>x_1=1</math>. אם <math>x_{n+1}=1</math> כיוון שהוא הגדול מבין המספרים ומכפלתם היא 1, נובע כי <math>x_1=\cdots=x_n=1</math>. באופן דומה אם <math>x_1=1</math> גם כל המספרים שווים 1. ===הוכחת אי־שיוויון הממוצעים=== נגדיר <math>x_i=\frac{a_i}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}</math> ונבחין כי: :<math>x_1\cdots x_n=\frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\cdots \frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}=1</math> לכן לפי טענת העזר נקבל כי: :<math>x_1+\cdots+x_n =\frac{a_1+\cdots+a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\ge n</math> ולכן <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}</math> ושוויון אם"ם <math>x_1=\cdots=x_n=1</math>. כלומר שוויון אם"ם <math>a_1=\cdots=a_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math> כעת נציב את המספרים <math>\frac{1}{a_1},\ldots,\frac{1}{a_n}</math> ונקבל כי: :<math>\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots\frac{1}{a_n}}\le\frac{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}{n}</math> כלומר :<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}\cdots\frac{1}{a_n}}\le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math> ושוויון אם"ם <math>\frac{1}{a_1}=\cdots=\frac{1}{a_n}</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)