לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/31.7.12
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== תהליך גרם־שמידט (Gram-Schmidt) == התהליך מייצר קבוצה אורתוגונלית/אורתונורמלית מקבוצה בת״ל כך שהן פורסות את אותו המרחב. השלבים, ללא נרמול: # <math>\tilde\mathbf u_1=\mathbf u_1</math> # <math>\tilde\mathbf u_2=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\tilde\mathbf u_1}(\mathbf u_2)</math> ... <math>\tilde\mathbf u_n=\mathbf u_n-\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\tilde\mathbf u_k}(\mathbf u_n)</math> === דוגמה === נתון בסיס <math>B=\{\mathbf x_1,\mathbf x_2,\mathbf x_3\}\subset\mathbb R^3</math> כאשר <math>\mathbf x_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix},\mathbf x_2=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix},\mathbf x_3=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>. ניצור באמצעותם בסיס אורתוגונלי:{{left|<math>\begin{align}\mathbf u_1=\mathbf x_1\\\mathbf u_2=\mathbf x_2-\frac{\langle\mathbf x_2,\mathbf u_1\rangle}{\langle\mathbf u_1,\mathbf u_1\rangle}\mathbf u_1=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix}-\frac5{14}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9/14\\9/7\\-15/14\\0\end{pmatrix}\\\mathbf u_3=\mathbf x_3-\frac{\langle\mathbf x_3,\mathbf u_1\rangle}{\langle\mathbf u_1,\mathbf u_1\rangle}\mathbf u_1-\frac{\langle\mathbf x_3,\mathbf u_2\rangle}{\langle\mathbf u_2,\mathbf u_2\rangle}\mathbf u_2=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}-\frac1{14}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix}-\frac1{70}\begin{pmatrix}9\\18\\-15\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\\0\\5\end{pmatrix}\end{align}</math>. נסים לב שהכפלנו כמה מהווקטורים בסקלר (14,5), מה שכמובן לא פגע באורתונורמליות. קיבלנו מערכת אורתונורמלית <math>\left\{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}9\\18\\-15\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\-2\\0\\5\end{pmatrix}\right\}</math>. === דוגמה נוספת === נתון מרחב פולינומים <math>P_n[x]</math> הנפרש ע״י <math>B=\left\{1,x,x^2,\dots,x^n\right\}</math>. נגדיר כפלה פנימית באופן הבא: <math>\langle p,q\rangle=\int\limits_{-1}^1 p(x)q(x)\mathrm dx</math>. נעזר בתהליך גרם־שמידט ונמצא מערכת אורתוגונילית:{{left|<math>\begin{align}p_0(x)=1\\p_1(x)=x-0=x&\langle x,p_0(x)\rangle=\int\limits_{-1}^1x\mathrm dx=0\\p_2(x)=x^2-0-\frac{2/3}2\cdot1=\frac{3x^2-1}3&\langle x^2,p_0\rangle=\frac23,\langle x^2,p_1\rangle=0,\langle p_0,p_0\rangle=2\\p_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\p_4(x)=\frac{35x^4-30x^2+3}8\\\vdots\end{align}</math>}} הערה: בסופו של התהליך מתקבלת סדרה של פולינומים אורתוגונליים הנקראים פולינומי לג׳נדר. מתקיים <math>\int\limits_{-1}^1 p_n(x)p_m(x)\mathrm dx=\begin{cases}0,&n\ne m\\\frac2{2n+1},&n=m\end{cases}</math>. בנוסף, קיימת נוסחה רקורסיבית <math>\begin{cases}p_0(x)=1,p_1(x)=x\\(k+1)p_{k+1}(x)-(2k+1)xp_k(x)+kp_{k-1}(x)=0\end{cases}</math>. פולינומי צ׳ביצב נוצרים מהמכפלה הפנימית <math>\langle p,q\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{p(x)q(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\T_4(x)=8x^4-8x^2+1\\T_5(x)=16x^5-20x^3+5x\end{align}</math>}} קיימת נוסחת רודריגז: <math>T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12}</math>. נוסחה רקורסיבית: <math>\begin{cases}T_0(x)=1,T_1(x)=x\\T_{k+1}(x)-2xT_k(x)+T_{k-1}(x)=0\end{cases}</math>. מתקיים <math>\int\limits_{-1}^1\frac{T_n(x)T_m(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx=\begin{cases}0,&n\ne m\\\pi,&n=m=0\\\tfrac\pi2,&\text{else}\end{cases}</math>. פולינומי לגר (Laguerre) נוצרים מ־<math>\langle p,q\rangle=\int\limits_0^\infty \mathrm e^{-x}p(x)q(x)\mathrm dx</math>. נוסחתם הרקורסיבית: <math>\begin{cases}L_0(x)=1,L_1(x)=-x+1\\(k+1)L_{k+1}(x)-(2k+1-x)L_k(x)+kL_{k-1}(x)=0\end{cases}</math> פולינומי הרמיט (Hermite):‏ <math>\langle p,q\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2}p(x)q(x)\mathrm dx</math> ו־<math>\begin{cases}H_0(x)=1,H_1(x)=2x\\H_{k+1}(x)=2xH_k(x)-2kH_{k-1}(x)\end{cases}</math>. ''הערה:'' פולינומי לגר והרמיט לא יופיע במבחן. === תרגיל === מצא בסיס אורתונורמלי <math>\{w_1,w_2,w_3\}</math> מהבסיס הבא: <math>\{1,x,x^2\}</math> בקטע <math>[0,1]</math> בקרה של המכפלה הפנימית הסטנדרטית: <math>\langle p,q\rangle=\int\limits_0^1 p(x)q(x)\mathrm dx</math>. ==== פתרון ==== <math>\|1\|^2=\int\limits_0^11\mathrm dx=1</math> ולכן <math>w_1(x)=\frac1{\|1\|}=1</math>. <math>u_2(x)=x-\frac{\langle x,1\rangle}{\langle1,1\rangle}\cdot1=x-\int\limits_0^1x\mathrm dx=x-\frac12</math>. עתה <math>\left\|x-\frac12\right\|^2=\int\limits_0^1\left(x-\frac12\right)^2\mathrm dx=\frac1{12}</math>. לכן <math>w_2(x)=\frac{x-\frac12}{\left\|x-\frac12\right\|}=\sqrt{12}\left(x-\frac12\right)</math>. <math>u_3(x)=x^2-\left\langle x^2,1\right\rangle\cdot1-\left\langle x^2,\sqrt{12}\left(x-\frac12\right)\right\rangle\cdot\sqrt{12}\left(x-\frac12\right)=x^2-x+\frac16</math>. ננרמל: <math>\|u_3\|^2=\frac1{180}</math> ולכן <math>w_3(x)=\sqrt{180}\left(x^2-x+\frac16\right)</math> === תרגיל === מצא קירוב ל־<math>f(x)=1-x^4</math> בעזרת 3 פולינומי לג׳נדר הראשונים בקטע <math>[-1,1]</math>. ==== פתרון ==== הקירוב מקיים <math>\tilde f(x)=a_0 P_0(x)+a_1 P_1(x)+a_2 P_2(x)</math> כאשר <math>a_k=\frac{\langle f,P_k\rangle}{\langle P_k,P_k\rangle}=\frac{2k+1}2\langle f,P_k\rangle</math>. נחשב:{{left|<math>\begin{align}a_0=\frac12\int\limits_{-1}^1\left(1-x^4\right)\mathrm dx=\frac45\\a_1=\frac32\int\limits_{-1}^1\left(1-x^4\right)x\mathrm dx=0\\a_2=\frac52\int\limits_{-1}^1\left(1-x^4\right)\frac{3x^2-1}2\mathrm dx=-\frac47\end{align}</math>}} לכן <math>\tilde f(x)=\frac45-\frac47\frac{3x^2-1}2=\frac{38-30x^2}{35}</math>. {{משל}} === תרגיל === מצא קירוב ל־<math>f(x)=\sqrt{2x+3}</math> באמצעות 3 פולינומי לג׳נדר הראשונים בקטע <math>[0,2]</math>. ==== פתרון ==== ''דרך א:'' לחשב את פולינומי לג׳נדר בקטע <math>[0,2]</math> ולפתור כרגיל. ''דרך ב:'' נשתמש בטרנספורמציה לינארית <math>[0,2]\to[-1,1]</math>. טרנספורמציה כזאת חייבת לקיים <math>x\mapsto x-1</math>. לכן, כאשר <math>t=x-1</math>, מספיק לחשב קירוב ל־<math>g(t)=\sqrt{2t+5}=f(t+1)=f(x)</math> ב־<math>[-1,1]</math> ואז נוכל למצוא קירוב ל־<math>f</math> ב־<math>[0,2]</math>:{{left|<math>\begin{align}a_0=\frac12\int\limits_{-1}^11\sqrt{2t+5}\mathrm dt\approx2.2207\\a_1=\frac32\int\limits_{-1}^1 t\sqrt{2t+5}\mathrm dt\approx0.45\\a_2=\frac52\int\limits_{-1}^1\sqrt{2t+5}\frac{3t^2-1}2\mathrm dt\approx0.0314\end{align}</math>}} לכן <math>\tilde g(t)\approx2.2207+0.45t+0.0314\frac{3t^2-1}2</math> נציב <math>t=x-1</math> ולכן <math>\tilde f(x)\approx2.2207+0.45(x-1)+0.0314\frac{3(x-1)^2-1}2</math>. {{משל}} = הקדמה לשיעור הבא = נדון במכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\mathrm dx</math> ונבדוק שהמערכת הבאה אורתונורמלית <math>\left\{\frac1\sqrt2,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\dots\right\}</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)