לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
גלים עומדים במיתר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==רקע תיאורטי== באוויר, במוצק ובנוזל נוצרים גלים מכניים הודות לכוחות אלסטיים, היוצרים קשרים בין חלקי גוף שונים. בתהליך יצירת גלים בתווך מסויים כמו מים או מיתר משתתפים כוחות כבידה וכוחות מתיחות. גל במיתר ניתן לתיאור כמו כל גל אחר בעזרת משוואת גלים: <math>\ \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi(t,\vec{r}) = v^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec{r}) </math> זוהי [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%AA משוואה דיפרנציאלית] , שבה: * <math>\vec{r}</math> הוא המקום במרחב. * <math>\ t</math> הוא הזמן. * הפונקציה <math>\ \psi (t,\vec{r})</math> היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן. * <math>\ v</math> היא מהירות התקדמות הגל. * <math>\ \nabla ^2</math> הוא האופרטור [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1%D7%99%D7%90%D7%9F לפלסיאן]. נחקור מיתר המתנודד ונקבל את משוואת הגלים עבורו בחד מימד. [[קובץ:סכמה גלים.png|500px|שמאל|מסגרת|איור 1 - סכמת כוחות על מיתר מתנודד]] נתון מיתר גמיש וגל עובר בו. נניח כי אמפליטודת הגל קטנה, הצפיפות <math>\rho</math>, אורך המיתר <math>L</math> והמתיחות <math>T</math> (בשווי משקל). כעת נעוות את המיתר וניצור בו הפרעה, ראו איור 1. העיוות יהיה קטן כדי לא לשנות את המתיחות. נבחר קטע על המיתר ונתייחס רק אליו. קבענו כתנאי קודם שהמתיחות בשני הקצוות שווה והיא T. מתיחויות אלו אינן פועלות בכיוונים מנוגדים אלא בסטייה קטנה (<math>\alpha\ \ne\alpha^\prime</math>), ולכן נוכל לכתוב משוואה לסכום הכוחות על הקטע שלנו: <math>\Sigma F_y=T(sin \alpha^\prime -sin \alpha)</math> כיוון שמדובר בזוויות קטנות נחליף sin ב- tan ונקבל: <math>\Sigma F_y=T(tan \alpha^\prime -tan \alpha)</math>. זהו הפרש של tan, לכן נכתוב את המשוואה: <math>\Sigma F_y=T\ \frac{\partial tan \alpha}{\partial x} dx=T\ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} dx</math> כעת, נכתוב את החוק השני של ניוטון עבור מיתר זה: <math>\Sigma F_y=m\ \frac{d^2 y}{dt^2}=\ \frac{\partial m}{\partial x} dx \ \frac{d^2 y}{dt^2} </math> נשווה בין שני התיאורים, ונקבל את משוואת הגלים: <math>(T/\frac{\partial m}{\partial x} )\ \frac{d^2 y}{dx^2}= \frac{d^2 y}{dt^2} </math> כאשר המהירות <math>v</math> נתונה על ידי: <math>v^2=T/\frac{\partial m}{\partial x} </math> ===גלים עומדים=== כאשר מיתר מתנודד באופן מחזורי, והגל שנוצר מגיע למכשול מתבצעת החזרה מלאה. במקרה זה, נקבל במיתר שני גלים זהים זה לזה בתדירות ובמשרעת והפוכים בכיוון התקדמותם. ההעתק של כל נקודה במיתר במקרה זה יהיה שווה לסכום האלגברי של ההעתקים של שני הגלים. התוצאה של הסופרפוזיציה, במקרה זה, היא אופן תנודה בעל תכונות מיוחדות, המכונה גל עומד. נכתוב את משוואת הגל עבור הסופרפוזיציה: <math>y=A(sin(wt+kx)-sin(wt-kx))=2Asin(kx)cos(wt)</math> זוהי תנועה הרמונית פשוטה באמפליטודה משתנה, שערכה: <math>2Asin(kx)</math>. בנקודות מסוימות במיתר האמפליטודה מתאפסת בכל זמן. נקודות אלו נקראות nodes, ומיקומם תלוי באורך הגל <math>x=\lambda n/2</math>. כאשר מדובר על מיתר התפוס בשני קצותיו, נקבל כי ישנה שני תנאי שפה: <math>y=0</math> ב- <math>x=0</math> וב- <math>x=L</math>, כאשר <math>L</math> הוא אורך המיתר. העובדה ששני קצות המיתר הן נקודות צומת מטילה מגבלה על אורך הגל והתדירות של הגל העומד. המיתר יכול להכיל רק גל עומד בעל מספר שלם של חצאי אורכי גל, כמוראה באיור 2. [[קובץ:גלים עומדים קטן.png|100px|שמאל|מסגרת|איור 2 - אופני תנודה של מיתר התפוס בשני קצותיו.]] באופן התנודה הראשון, המופיע בראש האיור, ישנם במיתר שתי נקודות צומת. אורך המיתר כולו שווה למחצית אורך גל, ולכן אורך הגל הוא <math>\lambda=2L/n</math>. יש לשים לב לעובדה שישנם הרבה אורכי גל מתאימים, <math>n</math> הוא מס' רץ, ולכן אורכי גל אלו עשויים ליצור תדירויות שונות. זאת אחת הסיבות שבנגינה על כלי מיתר כלשהו שומעים לא רק את התדירות החזקה אלא עוד צלילים ברקע (וצלילים אלו נקראים הרמוניות). במקרה שלנו יש מקור תנודות ולכן המשוואה תהיה: <math> \frac{d^2 y}{dt^2} = v^2\ \frac{d^2 y}{dx^2} + f(x,t)</math> הפיתרונות של משוואה זו הם פתרונות הרמוניים, ובמקרה הכללי ביותר טור פוריה של מכפלות של סינוסים וקוסינוסים. עבור מיתר תפוס נקבל שהחלק המרחבי של הטור מכיל סינוסים בלבד. עבור תדירויות מסוימות של המקור המתאימות לתדירויות העצמיות של המיתר נקבל פונקצית סינוס מרחבית אחת בלבד. לפונקציה זו נקודות התאפסות לאורך המיתר (קבועות בזמן).
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)