לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==משפט דה-מואבר== מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספרים מרוכבים בצורתן הפולרית: ::<math>r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2) = r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)</math> כלומר כופלים את האורכים וסוכמים את הזויות. '''הוכחה''': <math>r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2)=r_1r_2[(cos\theta_1+isin\theta_1)(cos\theta_2+isin\theta_2)]=</math> <math>=r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)+ i(sin\theta_1cos\theta_2+sin\theta_2cos\theta_1)]=</math> <math>=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)]=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)</math> מסקנה: '''משפט דה-מואבר''' ::<math>\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)</math> '''מציאת השורשים''' למשוואה מהצורה: ::<math>z^n=rcis\theta</math> נוסחא: כל השורשים הם מהצורה <math>\sqrt[n]{r}\cdot cis(\frac{\theta+2\pi k}{n})</math> כאשר <math>k=0,1,2,...,n-1</math> '''תרגיל''': מצא את '''כל''' הפתרונות למשוואה <math>z^4=1</math> '''פתרון''': נסמן <math>z=rcis\theta</math>. עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים: ::<math>\Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0)</math> ::<math>r^4cis(4\theta)=cis(0)</math> לכן <math>r=\sqrt[4]{1}=1</math>. ו-<math>\theta</math> היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס. הזויות המקיימות את זה הן: <math>0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}</math> כיצד ניתן לחשב את כולן? נשים לב כי <math>cis(0)=cis(0+2\pi k)</math> ולכן <math>4\theta = 2\pi k</math> ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{4}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math> '''תרגיל''': הוכח כי <math>sin(3\theta)=3cos^2(\theta)sin(\theta)-sin^3(\theta)</math> '''פתרון''': ::<math>cis(3\theta)=(cis\theta)^3=cos^3\theta+3cos^2\theta\cdot isin\theta + 3cos\theta(isin\theta)^2+(isin\theta)^3=</math> ::<math>=cos^3\theta -3cos\theta sin^2\theta + i(3cos^2\theta sin\theta - sin^3\theta)</math> השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות. '''תרגיל''': פתרו את המשוואה <math>z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0</math> '''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)