לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4/פתרון 4
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==תרגילים - שיוויונים== *<math>1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2</math> <math>(1+2+...+n+(n+1))^2=(1+2+...+n)^2+2 \cdot (1+2+...+n)\cdot (n+1) + (n+1)^2</math> <math>=(1+2+...+n)^2+n\cdot(n+1)\cdot(n+1)+(n+1)^2=(1+2+...+n)^2+(n+1)^3=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3</math> השוויון הראשון נכון לפי הנוסחה <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>. השוויון השני נכון לפי סכום סדרה חשבונית. השוויון השלישי הוא כינוס איברים והשוויון האחרון נכון לפי הנחת האינדוקציה. *<math>(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}</math> <math>(n+2)^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2 = (n+2)^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2+(n+1)^2-(n+1)^2</math> <math>=(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2+\Big((2n+1)^2+(2n+2)^2-(n+1)^2\Big)</math> <math>=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}+(7n^2+10n+4)=\frac{(n+1)(2n+3)(7n+8)}{6}</math> השוויון הראשון הוא הוספה והחסרה של אותו איבר. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי נכון לפי הנחת האינדוקציה ופתיחת סוגריים. השוויון האחרון הוא לפי פתיחת סוגריים ופירוק לגורמים. *<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}</math> <math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}</math> <math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\Big(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}\Big)</math> <math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}</math> השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי הוא פישוט שני המחוברים האחרונים *<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}</math> <math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}+\frac{(n+1)^2+(n+1)-1}{(n+3)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}+\frac{n^2+3n+1}{(n+3)!}</math> <math>=\frac{1}{2}-\frac{(n+1)(n+3)-(n^2+3n+1)}{(n+3)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+2}{(n+3)!}</math> השוויון הראשון נכון לפי הנחת האידוקציה ופתיחת סוגריים. השני הוא מכנה משותף והשלישי הוא שוב פתיחת סוגריים במונה. *<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)</math> <math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)-(-1)^{n+1}(3n+1)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)-(-1)^{n+1}(3n+1)</math> <math>=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)-\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(12n+4)\Big)</math> <math>\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1-12n-4)-1\Big)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(-6n-5)-1\Big)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+2}(6n+5)-1\Big)</math> השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה, השני לפי כפל וחילוק ב4, השלישי זה כינוס איברים וגם שאר השוויונים ברורים. *<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}</math> <math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}</math> <math>=\frac{n(n+1)(2n+3)+2(n+1)^2}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(2n^2+3n+2n+2)}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3}</math> הראשון לפי הנחת האינדוקציה, השני מכנה משותף, והאחרים פישוט וצמצום *<math>\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)=\frac{2n+1}{2n+2}</math> <math>\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+3)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math> <math>=\frac{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+3)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)}{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)}\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math> <math>=\frac{\frac{2n+1}{2n+2}}{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)}\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math> <math>=\frac{(n+1)^2}{n^2+2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\frac{4n^2+4n}{(2n+1)^2}\cdot\frac{4n^2+8n+3}{(2n+2)^2}=\frac{2n+3}{2n+4}</math> השוויון הראשון הוא כפל וחלוקה באותו גורם, השני הוא לפי הנחת האינדוקציה, וההמשך זה פישוט וצמצום
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)