לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}= ==משפט 2== יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות שרדיוס ההתכנסות שלו הוא R. אם קיים <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=S</math> במובן הרחב אז <math>S=R</math>. ===הוכחה=== יהי x כרצוננו ונוכיח שאם <math>|x-x_0|<S</math> אז הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>S</math> אז הוא מתבדר. נסמן את איברי הטור כ-<math>b_n=a_n(x-x_0)^n</math> ולכן אם <math>|x-x_0|<S</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|\cdot|x-x_0|^{n+1}}{|a_n|\cdot|x-x_0|^n}=\frac{|x-x_0|}S<1</math> ואם <math>|x-x_0|>S</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\frac{|x-x_0|}S>1</math>. ממבחן המנה של דאלמבר נסיק שהטור מתכנס בהחלט אם <math>|x-x_0|<S</math> (ולכן <math>S\le R</math>) ואינו מתכנס בהחלט אם <math>|x-x_0|>S</math> (ולכן <math>S\ge R</math>). מכאן ש-<math>R=S</math>. {{משל}} ===דוגמאות=== בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון. # <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}(x-5)^n</math>. אם קיים הגבול הבא אז הוא שווה לרדיוס ההתכנסות: {{left|<math>\begin{align}R&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!/n^n}{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}\cdot\frac{(n+1)^n(n+1)}{n^n}\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^n\\&=e\end{align}</math>}} {{משל}} # <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+3}}{n^3}(x-5)^{2n}</math>. ''דרך ראשונה:'' נעשה זאת לפי מבחן המנה: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+3}/n^3}{2^{n+4}/(n+1)^3}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^3\cdot\frac12=\frac12</math>, אבל קיבלנו תוצאה שגויה - זה לא רדיוס ההתכנסות כי חישבנו <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{2n}|}{|a_{2n+2}|}</math> במקום <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math>. עם זאת, נשים לב שאם נציב <math>y=(x-5)^2</math> אז חישבנו את רדיוס ההתכנסות של <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+3}}{n^3}y^n</math>. מכאן שהטור מתכנס כאשר <math>|x-5|^2=|y-0|<\frac12</math>, כלומר כאשר <math>|x-5|<\sqrt\frac12</math>, ולכן הוא <math>R=\sqrt\frac12</math>. {{משל}} ''דרך שנייה:'' נחשב בעזרת מבחן השורש: <math>R=1/\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n}</math>. גם כאן יש מכשול כי <math>a_{2n}=\frac{2^{n+3}}{n^3}</math> ואילו <math>a_{2n+1}=0</math>. לגבי האינדקסים האי-זוגיים <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n+1]{a_{2n+1}}=0</math> ולגבי הזוגיים <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n]{a_{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[2n]{2^{n+3}}}{\sqrt[2n]{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac12+\frac3{2n}}}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{3/2}}=\frac{2^\frac12}1=\sqrt2</math>. לכן <math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\sqrt2</math> ולפיכך <math>R=\frac1\sqrt2=\sqrt\frac12</math>. {{משל}} # <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nn!x^n</math>. לפי מבחן המנה: <math>R=\lim_{n\to\infty}\frac{|n!|}{|(n+1)!|}=\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0</math>. {{משל}} מכאן שהטור מתכנס רק עבור <math>x=0</math>. # דוגמה כללית של טור חזקות ניתנת ע"י טור טיילור. נניח ש-f מוגדרת וגזירה <math>\infty</math> פעמים בסביבת <math>x_0</math>. לכל <math>N\in\mathbb N</math> ניתן לכתוב <math>f(x)=P_N(x)+R_N(x)</math>, ולכן <math>\sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=P_N(x)=f(x)-R_N(x)</math>. אם עבור x מסויים <math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math> אזי <math>f(x)=\lim_{N\to\infty}f(x)-R_N(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math>, וטור זה יקרא "טור טיילור של f סביב <math>x_0</math>". עבור <math>x_0=0</math> הטור יקרא "טור מקלורן של f", וכבר ראינו דוגמה לטור כזה: <math>e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>, שרדיוס ההתכנסות שלו הוא <math>\infty</math>: <math>R=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n!}{1/(n+1)!}=\infty</math>. ===דוגמאות נוספות=== # נקח <math>f(x)=\sin(x)</math> ו-<math>x_0=0</math>. נחשב טור טיילור (בפרט, טור מקלורן) ונקבל <math>\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>, בתנאי ש-<math>R_N(x)\to0</math>. נוכיח שזה אכן מתקיים: <math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=\lim_{N\to\infty}\frac{\sin^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}</math> לכל <math>x\in\mathbb R</math>, כאשר c בין 0 ל-x. אבל ידוע ש-<math>\sin^{(N+1)}(c)\in\{\pm\sin(c),\pm\cos(c)\}</math> ולכן <math>|R_N(x)|\le\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}</math>. עתה יהי <math>x\in\mathbb R</math> מסויים וניצור סדרה <math>\{a_N\}</math> כך ש-<math>a_N=\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}</math>. נותר להוכיח ש-<math>a_N\to0</math>, ולכן מספיק להוכיח ש-<math>\sum_{N=0}^\infty a_N</math> מתכנס. נעשה זאת באמצעות מבחן המנה של דאלמבר: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{a_{N+1}}{a_N}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|^{N+2}/(N+2)!}{|x|^{N+1}/(N+1)!}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|}{N+2}=0</math>. {{משל}} # נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math> ונוכיח ש-f גזירה <math>\infty</math> פעמים ב-<math>\mathbb R</math> וש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ f^{(n)}(0)=0</math>.<br/>''טענה 1:'' אם <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> פונקציה רציונלית אזי <math>\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=0</math>. '''הוכחה:''' קיים <math>m\in\mathbb N\cup\{0\}</math> כך ש-<math>q(x)=x^m\cdot r(x)</math> עבור פולינום r שמקיים <math>r(0)\ne0</math>. לפיכך, עבור <math>y=\frac1{x^2}</math>, <math>\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^m}=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{y\to\infty}\frac{e^{-y}}{\left(1/\sqrt y\right)^m}=\lim_{y\to\infty}\frac{y^{m/2}}{e^y}</math>, ואחרי הפעלת כלל לופיטל <math>\left\lceil\frac m2\right\rceil</math> פעמים נקבל 0.<br/>''טענה 2:'' לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכל <math>x\in\mathbb R\setminus\{0\}</math> מתקיים <math>f^{(n)}(x)=e^{-\frac1{x^2}}g_n(x)</math> עבור פונקציה רציונלית <math>g_n</math> כלשהי כך ש-<math>f^{(n)}(0)=0</math>. '''הוכחה:''' נוכיח באינדוקציה. עבור <math>n=1</math>: <math>f'(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}e^{-\frac1{x^2}}=\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=g_1(x)e^{-\frac1{x^2}}</math> וכן <math>f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}x</math>, ולפי טענה 1 זה שווה ל-0. עתה נוכיח עבור <math>n+1</math>: <math>f^{(n+1)}(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}=e^{-\frac1{x^2}}\left(g_n'(x)+\frac2{x^3}g_n(x)\right)</math>. כמו כן <math>f^{(n+1)}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}-0}x</math>, ולפי טענה 1 זה שווה 0. {{משל}} נובע מכך שטור מקלורן של f הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum0</math>, שלא שווה ל-<math>f(x)</math> לכל x מלבד 0. ==משפט 3== יהי טור חזקות <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> בעל רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי: # בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> מוגדרת פונקציה גבולית רציפה <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math>. # בקטע זה הפונקציה הגבולית גזירה ומתקיים <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}</math>. לטור הגזור יש אותו רדיוס התכנסות R. # עבור <math>|x-x_0|<R</math> מתקיים <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math>, וגם לטור הזה רדיוס התכנסות R. ===הוכחה=== # יהי <math>x\in(x_0-R,x_0+R)</math> כרצונינו ונבחר r המקיים <math>|x-x_0|<r<R</math>. לפי משפט 1, סעיף 3, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math>. כמו כן, טור חזקות הוא סכום של פונקציות רציפות, ולכן f רציפה בקטע <math>[x_0-r,x_0+r]</math> ובפרט בנקודה x. {{משל}} # הוכחנו בעבר כי ניתן לגזור טור איבר-איבר אם הוא מתכנס בנקודה אחת ואם הטור הגזור מתכנס במ"ש. התכנסות הטור נתונה בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> והטור הגזור הוא <math>\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}</math>, לכן צריך רק להוכיח שהטור הגזור מתכנס במ"ש. תחילה נקבע את רדיוס ההתכנסות שלו: נסמן ב-S את רדיוס ההתכנסות של הטור הגזור ולכן <math>\frac1S=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{n|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]n\sqrt[n]{|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R</math>, כלומר <math>R=S</math>. נובע (לפי סעיף 1) שהטור הגזור מתכנס במ"ש ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ולכן מתקיימים התנאים כדי להוכיח שהגזירה הנ"ל אכן היתה מוצדקת. {{משל}} {{המשך סיכום|תאריך=29.5.11}} <ol start="3"> <li>נבחר x מסויים בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> ונסמן <math>r=|x-x_0|</math>. עפ"י משפט 1, סעיף 3, ידוע שהטור שלנו מתכנס במ"ש בקטע בין <math>x_0</math> ל-x ולכן (לפי משפט 9 בפרק הקודם) מותר לבצע אינטגרציה איבר-איבר בקטע זה. כעת <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_{x_0}^x a_n(t-x_0)^n\mathrm dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math> ולכן נותר למצוא רדיוס התכנסות. במילא נגזרת הטור החדש היא הטור המקורי, ולכן (מסעיף 2) יש להם אותו רדיוס התכנסות. {{משל}} </li> </ol>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)