לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}= <ol start="3"> <li> ==שיטת הטרפזים== [[קובץ:שיטת הטרפזים.png|300px|ימין]] נעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>, כאשר <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n=h</math>. חלוקת הקטע <math>[a,b]</math> משרה חלוקת הגרף <math>y=f(x)</math>. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> יש רוחב h ושני גבהים <math>f(x_{k-1}),\ f(x_k)</math>. לכן שטח אותו טרפז הוא <math>\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h</math>, והקירוב לאינטגרל הוא {{left|<math>\begin{align}\sum_{k=1}^n \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h&=h\left(\frac{f(x_0)}2+2\frac{f(x_1)}2+2\frac{f(x_2)}2+\dots+\frac{f(x_n)}2\right)\\&=\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_n)}2\right)h+h\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\end{align}</math>}} נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g <math>I(g)=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} g(x)\mathrm dx</math> וכן <math>T(g)</math> הקירוב של <math>I(g)</math> ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> ונעריך את הטעות בו, השווה ל-<math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\mathrm dx-\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h=I(f)-T(f)</math>. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0. כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-<math>[a,b]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|</math>. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה <math>x_{k-1}</math>: <math>f(x)=\underbrace{f(x_{k-1})+f'(x_{k-1})(x-x_{k-1})}_{P(x)}+\underbrace{\frac{f''(c)}2 (x-x_{k-1})^2}_{R(x)}</math>, כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו. לפיכך <math>I(f)=I(P)+I(R)</math>, <math>T(f)=T(P)+T(R)</math> והשארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}} וכן {{left|<math>\begin{align}|T(R)|&=\left|\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k-1}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\right|\\&=\left|\frac{f''(c)}4h^3\right|\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}</math>}} בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>. </li><li> ==כלל סימפסון (Simpson's Role)== שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)</math> לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי): <ul><li>נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי <math>[-R,R]</math> אזי <math>\int\limits_{-R}^R f=0</math>. '''הוכחה:''' נסמן <math>I_1=\int\limits_{-R}^0 f\ \and\ I_2=\int\limits_0^R f</math> ולכן <math>I_1+I_2=\int\limits_{-R}^R f</math>. ב-<math>I_1</math> נציב <math>t=-x\implies \mathrm dt=-\mathrm dx</math> ונקבל <math>I_1=\int\limits_{-(-R)}^{-0} f(-t)(-\mathrm dt)=-\left(-\int\limits_0^R -f(t)\mathrm dt\right)=-I_2</math>. {{משל}}</li> <li>נניח ש-f רציפה בסביבה של <math>x_0</math> וגזירה בסביבה מנוקבת של <math>x_0</math>. עוד נניח שקיים <math>\lim_{x\to x_0}f'(x)=L</math>. אזי <math>f'(x_0)</math> קיים ושווה ל-L. '''הוכחה:''' לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-<math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-<math>\lim_{x\to x_0} f'(c)</math> עבור <math>c</math> כלשהו בין <math>x</math> ל-<math>x_0</math>. לכן, כאשר <math>x\to x_0</math> גם <math>c\to x_0</math> ונקבל <math>L=\lim_{c\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>. {{משל}} </li></ul> נחזור לכלל סימפסון. ===שלב א=== נניח ש-<math>h>0</math> ו-<math>p(x)</math> פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-<math>\int\limits_{-h}^h p=\frac h3\Big(p(-h)+4p(0)+p(h)\Big)\implies I(p)=S(p)</math> (כאשר לכל f אינטגרבילית ב-<math>[-h,h]</math> הגדרנו <math>I(f)=\int\limits_{-h}^h f</math>). ====הוכחה==== לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות) <math>p(x)=\sum_{k=0}^3 \alpha_kx^k</math> מתקיים {{left|<math>\begin{align}I(p)&=\sum_{k=0}^3 \int\limits_{-h}^h \alpha_kx^k\mathrm dx\\&=\sum_{k=0}^3 \left[\alpha_k\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_{x=-h}^h\\&=2h\alpha_0+0+\frac23h^3\alpha_2+0\\&=\frac h3\left(6\alpha_0+2h^2\alpha_2\right)\\&=\frac h3\Big(\left(\alpha_0-h\alpha_1+h^2\alpha_2-h^3\alpha_3\right)+4\alpha_0+\left(\alpha_0+h\alpha_1+h^2\alpha_2+h^3\alpha_3\right)\Big)\\&=S(p)\end{align}</math>}} ===שלב ב=== נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטע <math>[-h,h]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[-h,h]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. נעריך את הטעות: <math>\int\limits_{-h}^h f-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)=I(f)-S(f)</math>. לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3, <math>f(x)=P_3(x)+R_3(x)</math>. לכן <math>I(f)-S(f)=\underbrace{I(P_3)-S(P_3)}_0+I(R_3)-S(R_3)</math>. כזכור <math>R_3(x)=\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}</math>. נעריך: {{left|<math>\begin{align}|I(R_3)|&=\left|\int\limits_{-h}^h\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}\mathrm dx\right|\\&\le\frac M{4!}\int\limits_{-h}^h\left|x^4\right|\mathrm dx\\&=\frac M{24}\left[\frac{x^5}5\right]_{x=-h}^h\\&=\frac{Mh^5}{60}\end{align}</math>}} {{left|<math>\begin{align}|S(R_3)|&=\left|\frac h3\Big(R_3(-h)+4R_3(0)+R_3(h)\Big)\right|\\&=\frac h3\left|\frac{f^{(4)}(c_1)}{4!}h^4+\frac{f^{(4)}(c_2)}{4!}h^4\right|\\&\le\frac M{36}\cdot h^5\end{align}</math>}} מכל זה, יוצא ש: <math>|I(f)-S(f)|=|I(R_3)-S(R_3)|\le\frac M{36}h^5+\frac M{60}h^5=\frac 2{45}Mh^5</math>. ===שלב ג=== נוכיח כי לכל k שעבורו <math>1\le k\le n-1</math> מתקיים <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f-\frac h3\left(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\right)=I(f)-S(f)</math> ====הוכחה==== באינטגרל <math>I(f)</math> נציב <math>t=x-x_k</math> כדי לקבל <math>I(f)=\int\limits_{x_{k-1}-x_k}^{x_{k+1}-x_k}f(t+x_k)\mathrm dt=\int\limits_{-h}^h f(t+x_k)\mathrm dt</math>. ניצור פונקציה <math>g:t\mapsto f(t+x_k)</math> ונבנה <math>S(g)</math> ב-<math>[-h,h]</math> כמו שעשינו בשלב ב: {{left|<math>\begin{align}S(g)&=\frac h3\Big(g(-h)+4g(0)+g(h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_k-h)+4f(x_k)+f(x_k+h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)\\&=S(f)\end{align}</math>}} כמו כן, מכיוון ש-<math>g(x)=f(x+x_k)</math> מתקיים <math>M=\max_{x\in[-h,h]}\left|g^{(4)}(x)\right|=\max_{x\in[x_{k-1},x_{k+1}]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>, ומכל זה נובע <math>I_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)-S_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)=I_{[-h,h]}(g)-S_{[-h,h]}(g)\le\frac2{45}Mh^5</math>. ===סיכום=== מצאנו שעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_{k+1}]</math> הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י <math>\frac2{45}Mh^5</math>. יש <math>\frac n2</math> קטעים כאלה, ומכיוון ש-<math>h=\frac{b-a}n\implies n=\frac{b-a}h</math> הטעות חסומה ע"י <math>\frac2{45}Mh^5\frac{b-a}{2h}=\frac{Mh^4(b-a)}{45}</math>. ''הערה:'' ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י <math>\frac{Mh^4(b-a)}{180}</math>. </li> </ol>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)