לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}= ==דוגמאות חישוב== # נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}} # <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{0.5\mathrm dy}{1+y^2}=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}} # עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. {{משל}} ''הערה:'' עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>. # נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math>, ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}} # נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-<math>(1,\infty)</math> ו-<math>\int\limits_1^\infty f</math> מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-<math>\int\limits_1^\infty g</math> מתכנס.<br/>''בנייה:'' נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math>, לכן <math>F'=f</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f</math> קיים ושווה ל-L. אם נגדיר <math>g(x)=2F(x)f(x)</math> אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר <math>F(x)=\int\limits_x^\infty f</math> אז <math>F'=-f</math> וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=0</math>. נגדיר <math>g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}</math>. חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן{{left|<math>\begin{align}\int\limits_1^\infty g=&\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\int\limits_1^\infty\frac{-F'(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\left[-2\sqrt{F(x)}\right]_{x=1}^\infty\\&=2\sqrt{F(1)}\\&=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}\end{align}</math>}} {{משל}} # <math>\int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=[\sin(x)]_{x=0}^\infty\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין. {{משל}} # נתבונן באינטגרל <math>\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר <math>\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x</math>): <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. נסמן <math>\forall k\in\{1,\dots,N\}:\ a_k:=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. ''טענה:'' המספרים <math>a_k</math> מקיימים <ul><li><math>(-1)^{k+1}a_k>0</math></li><li><math>|a_1|>|a_2|>|a_3|>\dots</math> (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).</li></ul>''הוכחה:''<ul><li>אם k אי-זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\ge0</math> בקטע <math>[(k-1)\pi,k\pi]</math> ואם k זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\le0</math> בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.</li><li>לכל k טבעי <math>|a_k|=\left|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx</math> כי <math>\mbox{sinc}(x)</math> בעלת סימן קבוע ב-<math>[(k-1)\pi,k\pi]</math>. נציב <math>t=x+\pi</math> על מנת לקבל <math>|a_k|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(t-\pi)|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ומכיוון ש-<math>\sin(t-\pi)=-\sin(t)</math> זה שווה ל-<math>|a_k|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(t)|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ואילו <math>|a_{k+1}|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx</math>, ומכיוון ש-<math>0<x-\pi<x\implies\frac{|\sin(x)|}{x-\pi}>\frac{|\sin(x)|}x</math> הטענה השנייה מתקיימת.</li></ul>נותר לנו לבדוק ש-<math>\lim_{k\to\infty} |a_k|=0</math>. ואכן <math>|a_k|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x=\ln\left|\frac{k\pi}{(k-1)\pi}\right|\to\ln|1|=0</math>. לסיכום <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N a_k</math> וה-<math>a_k</math> יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, נאמר ל-L. ''טענה:'' <math>\int\limits_0^\infty \mbox{sinc}(x)\mathrm dx=L</math>. ''הוכחה:'' יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n a_k-L\right|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן <math>a_k\to0</math> ולכן קיים <math>n_1\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>|a_k|<\frac\varepsilon2</math>. אם <math>R\pi>\pi\cdot\max\{n_1,n_0\}</math> אזי {{left|<math>\begin{align}\left|\int\limits_0^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right|&=\left|\int\limits_0^{\lfloor R\rfloor\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right|\\&=\left|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|\\&\le\left|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L\right|+\left|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|\\&<\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor+1}\\&<\varepsilon\end{align}</math>}} {{משל}} ==משפט 1== נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע <math>[a,\infty)</math> ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty (f+cg)=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. ===הוכחה=== לפי הגדרה <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+c\int\limits_a^R g=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. {{משל}} ==משפט 2== תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס, ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>. ההוכחה פשוטה. ==משפט 3== # תהי f מוגדרת ועולה בקטע <math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup_x f(x)<\infty</math>, ואם כן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)</math>. # תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. עוד נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> בקטע זה, אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל. ===הוכחות=== # נניח <math>\sup_{x>a} f(x)=m\in\mathbb R</math>. ''טענה:'' <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-m. ''הוכחה:'' לפי אפיון החסם העליון, אם <math>\varepsilon>0</math> אזי קיים <math>x_0\in[a,\infty)</math> כך ש-<math>m-\varepsilon<f(x_0)\le m<m+\varepsilon</math> לכן עבור כל <math>x>x_0</math> מתקיים (מכיוון ש-f עולה) <math>m-\varepsilon<f(x_0)\le f(x)\le m<m+\varepsilon</math>. בפרט, לכל <math>x>x_0</math> מתקיים <math>|f(x)-m|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=m</math> ואם <math>\sup_{x>a} f(x)=\infty</math> (לא חסום) אז לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיים <math>x_0</math> כך ש-<math>f(x_0)>n</math>. כעת, אם <math>x>x_0</math> אז <math>f(x)\ge f(x_0)>n</math>. נובע ש-<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> ואין גבול במובן הצר. {{משל}} # לכל <math>R>a</math> נגדיר <math>F(R)=\int\limits_a^R f</math>. כיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> לכל <math>x\ge a</math>, <math>F(R)</math> עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי מקיים <math>\int\limits_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f=\lim_{R\to\infty} F(R)</math> וראינו בסעיף 1 שהגבול של <math>F(R)</math> קיים אם"ם <math>F(R)</math> חסומה מלעיל, ז"א אם"ם <math>\int\limits_a^R f</math> חסום מלעיל כאשר <math>R\to\infty</math>. {{משל}} ===מסקנה=== מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל הלא אמיתי של פונקציה אינטגרבילית מקומית אי-שלילית מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-<math>\infty</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)