לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=האינטגרל הלא מסויים= '''הגדרה:''' אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות <math>\int\limits_a^b f</math> שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות - <math>\int f</math>, שפתרונו פשוט <math>F(x)+c</math> עבור F פונקציה קדומה ל-f וקבוע c. ==אינטגרלים פשוטים== {{left| <math>\begin{array}{l r|l} \underline{f(x)} && \underline{\int f(x)\mathrm {dx}\ {\color{Gray}-\text{constant}}}\\ c && cx\\ x^\alpha & (\alpha\ne-1) & \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\ x^{-1} && \ln|x|\\ \sin(x) && -\cos(x)\\ \cos(x) && \sin(x)\\ \sec^2(x) && \tan(x)\\ e^x && e^x\\ a^x & (1\ne a>0) & \frac{a^x}{\ln(a)}\\ \frac1{1+x^2} && \arctan(x)\\ \frac1{a^2+x^2} && \frac1a\arctan\left(\frac {x}{a}\right)\\ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} && \arcsin(x)\\ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} && \arcsin\left(\frac xa\right)\\ \end{array}</math> }} ===בדיקות=== # נבדוק <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac1x</math> (עבור <math>x\ne0</math>): לפי ההגדרה <math>\ln|x|=\begin{cases}\ln(x)&x>0\\\ln(-x)&x<0\end{cases}</math>. לכן עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(x)=\frac1x</math> ועבור <math>x<0</math>, <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x</math>. {{משל}} # <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)=\frac1a\frac1{1+\left(\frac xa\right)^2}\frac1a=\frac{1}{a^2+x^2}</math>. {{משל}} # <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arcsin\left(\frac xa\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}}\frac1a=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>. {{משל}} ===דוגמאות חישוב=== {{left|1=<span><!-- ה-span הזה מונע באג שגורם לסעיף הראשון ברשימה להחשב שורה רגילה שמתחילה בתו # (במקום ב-1.)--></span> # <math>\int\sqrt{x}\mathrm {dx}=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32+c</math> # <math>\int\frac{1}{\sqrt{x-7}}\mathrm {dx}=\int(x-7)^{-\frac12}\mathrm dx=2(x-7)^\frac12+c</math> # <math>\int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^{12}}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c</math><div dir="rtl" align="right">(מהפיכת כלל השרשרת)</div> # <math>\int e^{-5x}\mathrm dx=\frac{e^{-5x}}{-5}+c</math> # <math>\int\sin\left(x^2\right)\mathrm dx\ne\frac{-\cos(x^2)}{2}+c</math><div dir="rtl" align="right">(למעשה, האינטגרל הזה לא אלמנטרי)</div> # <math>\int3^xe^x\mathrm dx=\int(3e)^x\mathrm dx=\frac{(3e)^x}{\ln(3e)}+c=\frac{(3e)^x}{1+\ln(3)}+c</math> # <math>\int\tan^2(x)\mathrm dx=\int(\sec^2(x)-1)\mathrm dx=\tan(x)-x+c</math> # <math>\int\frac{1+\cos(x)}{1+\cos^2(2x)}\mathrm dx=?</math><div dir="rtl" align="right">(הפונקציה אלמנטרית אבל האינטגרל לא ידוע לנו. המסר הוא שהאינטגרציה קשה)</div> # <span id="partial_fraction_example"><!-- אל תמחקו span זה. הוא משמש להפנייה לסעיף זה של הדוגמה --></span><math>\begin{align}\int\frac1{(x-3)(x-4)}\mathrm dx&=\int\frac{(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{x-4}-\int\frac{\mathrm dx}{x-3}\\&=\ln|x-4|-\ln|x-3|+c\end{align}</math> }} '''כלל פשוט:''' האינטגרל לינארי, כלומר <math>\int(f+cg)=\int f+c\int g</math>. ==אינטגרציה בחלקים== כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)g(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math>. אם {{ltr|f'}} ו-{{ltr|g'}} רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה: <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>. ===דוגמאות חישוב=== # <math>\int \underbrace{x}_{f(x)=x}\underbrace{\cos(x)}_{g'(x)=\cos(x)}\mathrm dx=x\sin(x)-\int1\sin(x)\mathrm dx=x\sin(x)+\cos(x)+c</math>. אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה נקבל <math>\int \underbrace{x}_{g'(x)=x}\underbrace{\cos(x)}_{f(x)=\cos(x)}\mathrm dx=\cos(x)\frac{x^2}2-\int-\sin(x)\frac{x^2}2\mathrm dx</math>, ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי. # <math>\int x^2e^{3x}\mathrm dx=\frac{x^2e^{3x}}3-\int\frac{2xe^{3x}}3\mathrm dx</math>. נעשה שוב אינטגרציה בחלקים: <math>\int\frac{2xe^{3x}}3\mathrm dx=\frac{xe^{3x}}3-\int\frac{e^{3x}}3\mathrm dx=\frac{xe^{3x}}3-\frac{e^{3x}}9+c</math> ובסה"כ <math>\int x^2e^{3x}\mathrm dx=\frac{x^2e^{3x}}3-\frac{2xe^{3x}}9+\frac{2e^{3x}}{27}+c</math>. # <math>\int x^3\ln(x)\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\int\frac1x\frac{x^4}4\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\frac{x^4}{16}+c</math>. # <math>\int\ln(x)\mathrm dx=\int1\ln(x)\mathrm dx=x\ln(x)-\int\frac1xx\mathrm dx=x\ln(x)-x+c</math>. # <math>\begin{align}\int e^x\cos(x)\mathrm dx&=e^x\sin(x)-\int e^x\sin(x)\mathrm dx\\&=e^x\sin(x)+e^x\cos(x)-\int e^x\cos(x)\mathrm dx\end{align}</math> ולכן <math>\int e^x\cos(x)\mathrm dx=\frac{e^x}2\Big(\sin(x)+\cos(x)\Big)+c</math>. ==שיטת ההצבה/שינוי משתנים== נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>. לכן אם F קדומה ל-f אז <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)</math> ולפיכך <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>. דרך פורמלית וכללית לפתרון: נתון <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx</math>. ע"י הגדרה <math>y=g(x)</math> נקבל <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g'(x)</math>. נעביר אגף: <math>\mathrm dy=g'(x)\mathrm dx</math>, נחזור לאינטגרל ונקבל <math>\int f(y)\mathrm dy=F(y)+c=F(g(x))+c</math>. ===דוגמאות חישוב=== בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-<math>I</math>: # <math>\int x^2 e^{x^3}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^3</math> ולכן <math>\mathrm dy = 3x^2\mathrm dx</math> ולפיכך <math>I=\int \frac{e^y}3\mathrm dy=\frac{e^y}3+c=\frac{e^{x^3}}3+c</math>. # <math>\int\frac{\ln(x)}x\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\ln(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac1x\mathrm dx</math> ונובע ש-<math>I=\int y\mathrm dy=\frac{y^2}2+c=\frac12(\ln(x))^2+c</math>. # <math>\int\frac {x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2+1\implies\mathrm dy=2x\mathrm dx</math> ולכן <math>I=\int\frac{\tfrac12\mathrm dy}{\sqrt y}=\frac12\int y^{-\frac12}\mathrm dy=y^{\frac12}+c=\sqrt{x^2+1}+c</math>. # <math>\int\tan(x)\mathrm dx</math>: עבור <math>y=\cos(x)</math> נקבל <math>I=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=\int\frac{-\mathrm dy}y=-\ln|y|+c=-\ln|\cos(x)|+c=\ln|\sec(x)|+c</math>. # <math>\int\cot(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\mathrm dx=\ln|\sin(x)|+c</math>. #<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>I=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln|y|+c=\ln|f(x)|+c</math>.<br />לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף 4: <math>\int\tan(x)\mathrm dx=-\int\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=-\ln|\cos(x)|+c</math>. # <math>\int\frac{f'(x)}{f^2(x)}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>I=\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=-\frac1y+c=-\frac1{f(x)}+c</math>. # <math>\int\frac{x^5\mathrm dx}{\sqrt{1-x^3}}</math>: נציב <math>y=1-x^3</math> ואז <math>\frac{(1-y)\mathrm dy}{-3}=x^5\mathrm dx</math>. מכאן ש-<math>I=\int\frac{\frac{1-y}{-3}\mathrm dy}{\sqrt y}=\int\left(\frac13\sqrt y-\frac{1}{\sqrt y}\right)\mathrm dy=\frac29\sqrt{1-x^3}^3-\frac23\sqrt{1-x^3}+c</math>. # <math>\int\arcsin(x)\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\arcsin(x)</math> ומכאן ש-<math>\mathrm dx=\cos(y)\mathrm dy</math>. לבסוף, {{left|[[קובץ:חישושב קוסינוס של ארקסינוס.png|שמאל|300px|ממוזער|ממשפט פיתגורס ומהסרטוט נובע כי <math>\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}</math>]]<math>\begin{align}I&=\int y\cos(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)-\int1\sin(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)+\cos(y)+c\\&=x\arcsin(x)+\cos(\arcsin(x))+c\end{align}</math>}} ולכן <math>I=x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}+c</math>.<br />דרך אחרת: <math>I=\int1\arcsin(x)\mathrm dx=x\arcsin(x)-\int\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx</math>. נגדיר <math>y=1-x^2</math> ושוב נקבל {{left|<math>\begin{align}I&=x\arcsin(x)-\int\frac{ x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx\\&=x\arcsin(x)+\int\frac{\mathrm dy}{2\sqrt y}\\&=x\arcsin(x)-\sqrt y+c\\&=x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}+c\end{align}</math>}} # <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\sqrt x\implies\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{2\sqrt x}</math> ולכן <math>I=\int 2ye^y\mathrm dy=2ye^y-\int2e^y\mathrm dy=2\sqrt xe^\sqrt x-2e^\sqrt x+c</math>. # <math>\int\sin(x)\cos(x)\mathrm dx</math>: נבחר <math>y=\sin(x)</math> כדי לקבל <math>I=\int y\mathrm dy=\frac12y^2+c=\frac12\sin^2(x)+c</math>.<br />שיטה אחרת: <math>y=\cos(x)</math> ואז <math>I=\int-y\mathrm dy=-\frac12\cos^2(x)+c</math>.<br />שיטה אחרונה: <math>I=\int\frac12\sin(2x)\mathrm dx=-\frac14\cos(2x)+c</math>.<br />קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: <math>\frac12\sin^2(x)-\left(-\frac12\cos^2(x)\right)=\frac12\left(\cos^2(x)+\sin^2(x)\right)=\frac12</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)