לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'. עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות. ===דוגמא 1=== חשבו <ol> <li><math>\int\frac{dx}{x\left(\sqrt{x}+\sqrt[5]{x^2}\right)}</math> ====פתרון==== נרשום את האינטגרל כ- <math>\displaystyle\int\frac{dx}{x\left((x^{1/10})^5+(x^{1/10})^4\right)}</math> . מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9 dy=dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9 dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li> <li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}dx</math> ====פתרון==== נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5 dy=dx</math> . נקבל <math>\int=\int\frac{(y^6-1)^2+y^3}{y^2}6y^5 dy=\int\left((y^6-1)^2+y^3\right)6y^3 dy=\dots</math> . {{משל}}</li> </ol> ==הצבות טריגונומטריות== כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math> . ===דוגמא 2=== <ol> <li><math>\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}</math> ====פתרון==== נעזר במשלש ישר-זוית: גרף (1) <math>\sqrt{x^2+4}</math> חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא <math>\tan(y)=\fracx2\iff x=2\tan(y)\implies dx=\frac{2dy}{\cos^2(y)}</math> . נקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}\\&=\int\frac{\frac{2dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}\\&=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)} dy\end{align}</math>}}נציב <math>t=\sin(y)\implies dt=\cos(y)dt</math> אזי <math>\int=\frac14\int\frac{dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots</math> . {{משל}}</li> <li><math>\int\frac\sqrt{9-4x^2}x dx</math> ====פתרון==== שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה <math>\sin(y)=\frac{2x}3\implies dx=\frac32\cos(y)dy</math> אזי {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)dy\\&=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}dy\\&=3\int\csc(y)dy-3\int\sin(y)dy\\&=\dots\end{align}</math>}}נותר לפתור <math>\int\csc(y)dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}y=\int\frac{-dt}{1-t^2}</math> עבור <math>t=\cos(y)</math> . מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. {{משל}}</li> <li><math>\int\frac{dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32}</math> ====פתרון==== ראשית נציב <math>y=x-3\implies \int=\int\frac{dy}{\left(4y^3-9\right)^\frac32}</math>. נציב <math>\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ \tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}</math> נקבל: <math>\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz</math> את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה <math>t=\cos(z)</math> ואז <math>\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots</math>. {{משל}}</li> </ol> ==הצבות מיוחדות== ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב <math>x=2\arctan(y)\iff y=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן <math>\sin(x)=\frac{2y}{1+y^2}</math> וגם <math>\cos(x)=\frac{1-y^2}{1+y^2}</math>. ===דוגמה 3=== פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית: <ol> <li><math>\int\csc(x)\mathrm dx</math> ====פתרון==== <math>\int=\int\frac1\frac{2y}{1+y^2}\cdot2\cdot\frac1{1+y^2}\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln\left|\tan\left(\frac x2\right)\right|+c</math>{{משל}}</li> <li><math>\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}</math> ====פתרון==== נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}} '''מסקנה''': כאשר יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt[n]{ax+b}</math> ננסה להציב <math>y^n=ax+b</math>.</li> </ol> ---- אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+x^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+x^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+x^2=(\beta-y)^2</math> או <math>c+bx+x^2=(\alpha-y)^2</math>. ===דוגמה 4=== נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math> ====פתרון==== הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו {{left|<math>\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}</math>}}ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)