לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - תרגול/3.4.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=שימושי האינטגרל= ==דוגמה 1== חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>. ===פתרון=== נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>. * '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין <math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> וכן <math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>. * '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math> ==דוגמה 2== חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>. ===פתרון=== נקודות חיתוך: * <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0</math> * <math>y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)</math> * ברור כי ל-<math>y=e^x,\ y=0</math> אין נקודת חיתוך. לכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e</math>. ==דוגמה 3== מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a. ===פתרון=== <div style="float:right;margin-left:10px;">[[קובץ:חישוב שטח פירמידה.png|200px]]</div> <div style="float:left;">[[קובץ:חישוב נפח פירמידה עם משולש.png|200px]]</div> נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה. מדמיון משושלים נקבל <math>\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a</math> ולכן שטח חתך כזה הוא <math>S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2</math>. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר המשתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא <math>\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3</math>. ==נפח גוף סיבוב== נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה <math>V=\int\limits_a^b\pi(f(x))^2\mathrm dx</math>. ===דוגמה 4=== חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה <math>y^2=8x</math> סביב ציר ה-x, עד לישר <math>x=2</math>. ====פתרון==== <math>y^2=8x\implies y=\pm\sqrt{8x}</math>. מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של <math>\sqrt{8x}</math> בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, <math>V=\int\limits_0^2\pi\left(\sqrt{8x}\right)^2\mathrm dx=8\pi\left[\frac{x^2}2\right]_{x=0}^2=16\pi</math>. ===דוגמה 5=== מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r. ====פתרון==== ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל <math>x^2+y^2=r^2</math> ולכן בחצי המישור העליון <math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. הנפח הוא <math>\int\limits_{-r}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)\mathrm dx=\frac43\pi r^3</math>. ===דוגמה 6=== מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים <math>f(x)=\frac12+x^2</math> ו-<math>g(x)=x</math> בקטע <math>[0,2]</math>. ====פתרון==== נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: <math>\frac12+x^2=x\implies x\not\in\mathbb R</math>, כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא <math>\int\limits_0^2\pi\left((f(x))^2-(g(x))^2\right)\mathrm dx=\pi\int\limits_0^2\left(\left(x^2+\frac12\right)^2-x^2\right)\mathrm dx=\dots=\frac{69}{10}\pi</math>. ---- נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע <math>[a,b]</math> נתון ע"י הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_a^b xf(x)\mathrm dx</math>. ===דוגמה 7=== חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י <math>y=\sqrt x,\ x=1,\ x=4</math> סביב ציר ה-y. ====פתרון==== לפי הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_1^4\sqrt x^3\mathrm dx=2\pi\left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{x=1}^4=\frac{124}5\pi</math>. ===דוגמה 8=== חשב את נפח התחום שמתחת ל-<math>y=x^2</math> בקטע <math>[0,2]</math> המסתובב סביב ציר ה-x. ====פתרון==== <math>\int\limits_0^2\pi x^4\mathrm dx=\frac{32}5\pi</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)