לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
פירוק פולינום
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== 6 כללים\שיטות == '''(1)''' כל פולינום ממעלה 1 הוא אי פריק. '''(2)''' פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא אי פריק אם ורק אם אין לו שורש. '''דוגמא:''' <math>x^3+x+1</math> אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> כי אין לו שורשים בשדה. '''(3)''' '''קריטריון אייזנשטיין''': :יהי <math>C</math> חוג חילופי ו-<math>P</math> אידיאל ראשוני. יהי <math>f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\in C[x]</math> כך ש: :א. <math>a_n\notin P</math> :ב. <math>a_i\in P</math> לכל <math>0<i<n</math> :ג. <math>a_n\in P\setminus P^2</math> :אזי <math>f(x)</math> אי פריק ב-<math>C[x]</math>. לרוב משתמשים בקריטריון אייזנשטיין יחד עם '''הלמה של גאוס''': :יהי <math>C</math> תחום פריקות יחידה עם שדה שברים <math>F</math> ו-<math>f(x)\in C[x]</math> פולינום כך ש: :א. המחלק המשותף המקסימלי של מקדמי <math>f</math> הוא 1. :ב. קיימים <math>g(x),h(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>f(x)=g(x)h(x)</math>. :אזי <math>g(x),h(x)\in C[x]</math>. :בפרט, נובע שפולינום <math>f(x)\in C[x]</math> הוא אי פריק ב-<math>F[x]</math> אם ורק אם הוא אי פריק ב-<math>C[x]</math>. '''דוגמא:''' <math>2x^5+6x^4+9x+3</math> אי פריק ב-<math>\mathbb{Q}[x]</math>. נשתמש בקריטריון אייזנשטיין עם <math>p=3</math> כדי להראות שהפולינום אי-פריק ב-<math>\mathbb{Z}[x]</math> ואז נשתמש בלמה של גאוס כדי להסיק שהפולינום אי פריק ב-<math>\mathbb{Q}[x]</math>. '''(4)''' מעבר לשדה גדול יותר: נפרק את הפולינום מעל שדה גדול יותר מהשדה שלנו (בדרך כלל המרוכבים או הממשיים). אז ננסה לכפול את הגורמים שקיבלנו כדי לקבל פירוק מעל השדה שלנו. אם ניסינו את כל האפשרויות ונכשלנו, הפולינום אי פריק. '''תרגיל:''' הראו כי <math>x^4+3x^2+1</math> אי פריק מעל הרציונלים על ידי פירוקו מעל המרוכבים. '''(5)''' אם השדה סופי ורוצים לפרק את <math>f(x)</math> אפשר לנסות לחלק את <math>f</math> בכל הפולינומים הראשוניים עד מעלה <math>\deg f/2</math> (כולל). '''תרגיל:''' הראו כי יש רק פולינום אי פריק אחד ממעלה 2 מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> נצלו זאת כדי להראות ש-<math>x^4+x^3+1</math> אי פריק מעל שדה זה. '''(6)''' כשכל השאר נכשל: אם הפולינום <math>f</math> הוא ב-<math>C[x]</math> ול-<math>C</math> יש אידיאל <math>P</math> כך שמעל <math>C/P</math> הפולינום <math>f</math> אי פריק, אז הוא גם אי פריק ב-<math>C[x]</math> (ממשיכים עם הלמה של גאוס). '''דוגמא:''' <math>x^4+17x^3+2x^2+4x+5</math> הוא אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}</math> כי מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> הוא שווה לפולינום <math>x^4+x^3+1</math> וזה פולינום אי פריק (לפי התרגיל האחרון).
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)