לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
שיטת ההצבה
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==שיטת ההצבה== שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל-השרשרת לגזירה. <math>\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)</math> לכן, '''נוסחת ההצבה''' הנה: :<math>\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=F\big(g(x)\big)+C</math> כאשר <math>F'=f</math> . סימון נוח יותר לאותה הנוסחא: <math>\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}</math> נסמן <math>g(x)=t</math> ולכן <math>g'(x)dx=dt</math> ולכן <math>\displaystyle\int f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math> הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת. ===אלגוריתם לביצוע הצבה=== נתאר כעת את השלבים בביצוע הצבה, במקרים שונים. *בוחרים הצבה <math>t=g(x)</math> או <math>x=h(t)</math> . *גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- <math>dx,dt</math> . :<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)dt</math> . *במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math> *כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה <math>x</math> , נוכל להשלים את ההצבה רק אם <math>g</math> הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math> ===דוגמאות=== א) <math>\int\sin\big(\sqrt x\big)dx</math> ננסה להציב <math>t=\sqrt x</math> . נגזור ונקבל <math>dt=\frac{dx}{2\sqrt x}</math> אבל הביטוי <math>\frac{dx}{2\sqrt x}</math> אינו מופיע באינטגרל! לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) <math>x=t^2</math> . נגזור ונקבל <math>dx=2t\,dt</math> לכן :<math>\int\sin\big(\sqrt x\big)dx=\int 2t\sin(t)dt</math> ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים. ב) <math>\int{\tan(x)dx}=-\int{\frac1{\cos(x)}\cdot\big(-\sin(x)\big)dx}</math> נסמן <math>f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x)</math> לכן <math>F(x)=\ln(|x|)\ ,\ g'(x)=-\sin(x)</math> וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה: :<math>-\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(|\cos(x)|\big)+C</math> ג) <math>\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}</math> נציב :<math>t=\frac{x}{|a|}</math> לכן :<math>|a|dt=dx</math> ולכן <math>\int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}=\frac{1}{|a|}\int\frac{|a|}{\sqrt{1-t^2}}dt=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{|a|}\right)+C</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)