לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תנודות
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== רקע תיאורטי == ===תנודות הרמונית חופשיות=== נתבונן בתנועת גוף של מסה m שעליו מופעל כוח אלסטי מחזיר (פרופורציוני להעתק x של הגוף מנקודת שיווי משקלו), נקבל לפי החוק השני של ניוטון: <math> \ m \ddot{x} + k x = 0.</math> זוהי משוואה דיפרנציאלית שפתרונה הוא: <math> x(t) = A \cos (2 \pi f_0 t). \! </math> כאשר <math>f_0</math> הוא תדר התנועה במצב ההרמוני הפשוט. ===תנודות מרוסנות=== אם נוסף לכח המחזיר יפעל על הגוף כוח חיכוך הפרופורציוני למהירות, <math> \lambda v </math> . לפי החוק השני של ניוטון מתקיים: <math>m \ddot{x} + { \lambda } \dot{x} + {k } x = 0.</math> פתרון המשוואה מתאר תנודות מרוסנות של הגוף, הינו: <math>x(t) = A\exp (-\delta t)\cos ( \Omega t-\phi)) </math> כאשר <math>\Omega</math> הוא תדר התנודות העצמיות של המערכת השווה ל-<math>\Omega ^2 = \omega_0 ^2- \delta^2</math>, <math> \omega_0^2 = {k \over m}</math>, ו- <math>\delta={\lambda \over 2m}</math> הנקרא גורם הריסון. האמפליטודה A והפאזה <math>\phi</math> תלויים בתנאי התחלה של המערכת. משרעת התנודות הולכת וקטנה עם הזמן בהתאם לחוק <math>\exp (-\delta t)</math> ניתן לראות כי תדר התנודות העצמיות תלוי בכוח המרסן (ככל שהכוח המרסן יגדל, תדר התנודות העצמיות יקטן). עבור מטוטלת מתמטית <math>\omega_0^2= {g \over l}</math> ולכן <math>\Omega ^2 = {g \over l} - \delta ^2</math>, במשרעות קטנות מחזור התנודות העצמיות של המטוטלת, <math>T_0</math>, אינו תלוי במשרעת. עובדה זו גילה גלילאו הצעיר (1583) כאשר צפה בתנודות של נברשת תחת משבי רוח. מכוון שלא היו אז שעוני עצר הוא השווה את תדירות תנודות הנברשת עם תדירות הדופק שלו. בזוויות גדולות, זמן המחזור של המטוטלת גדל כאשר אמפליטודת התנודות גדלה. ניתן למצוא את זמן המחזור של מטוטלת, הפתרון לא אנליטי, אך ניתן להביעו באמצעות <math> \ F(k,\phi)</math> [http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral#Functional_relations האינטגרל האליפטי של לז'נדר מהסוג הראשון] (Complete elliptic integral of the second kind) כך: :: <math> T=4\sqrt{\frac{l}{g}}F(\sin\frac{\theta_0}{2},\frac{\pi}{2}) </math>. תלות זו ניתן להציג כסדרה: <math>{T \over T_0}={1 \over 4}\sin^2({ {\theta _m \over 2}})+{9 \over 64} \sin^4({ \theta _m \over 2})... </math> כאשר <math>\theta _m</math> היא משרעת התנודה במעלות. ===תנודות מאולצות=== עתה נתבונן בתנועתו של אותו גוף תחת השפעה של כוח חיצוני מחזורי <math>F_0 \cos \omega t</math>. משוואת התנועה תהיה: <math>m \ddot{x} + { \lambda } \dot{x} + {k } x = F_0 \cos \omega t</math> פתרון כללי של משוואה כזאת הוא סכום הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (כאשר צד ימין של המשוואה שווה לאפס) והפתרון הפרטי של המשוואה הלא הומוגנית הנתונה. את הפתרון של המשוואה ההומוגנית קיבלנו קודם – והוא מתאר תנודות עצמיות דועכות. בפתרון של המשוואה הלא הומוגנית נצא מתוך הנחה שהתנודות מתקיימות בתדירות השווה לזאת של הכוח החיצוני. את הפתרון הפרטי של המשוואה הלא הומוגנית מנחשים בצורה של <math>x=B \sin (\omega t - \psi)</math>. כדי למצוא את הערכים של <math>B</math> ו- <math>\psi</math> נציב את הביטוי הזה במשוואת התנועה ונקבל: <math>B={F_0 \over {\sqrt {m^2( \omega ^2 - \omega_0 ^2)^2+ \lambda^2 \omega^2}}}</math> מכאן שהפתרון הכללי של המשוואה יהיה: <math>x(t)=A \exp (- \delta t) \cos (\Omega t - \phi)+B\sin(\omega t-\psi)</math> ניתן לראות כי משרעת התנודות המרבית <math>B</math> תתקבל כאשר תדירות הכוח החיצוני קרובה לתדירות העצמית של המערכת. תופעה זו נקראת '''תהודה''' (resonance) והינה תופעה חשובה ביותר בפיסיקה ובטכנולוגיה. גודל משרעת התנודות במצב תהודה פרופורציוני הפוך לגורם הריסון - <math>\lambda</math>. ===תהליכי מעבר=== בהשפעת כוח חיצוני מחזורי נוצרות בהתחלה גם תנודות חופשיות של המטוטלת, לכן התנודות המתקבלות הן סופרפוזיציה של התנודות החופשיות והמאולצות. אם תדירות הכוח החיצוני שווה לתדירות העצמית אז משרעת התנודות עולה בהתמדה עד שתגיע לגודל קבוע. במידה ותדירויות אלו שונות, סופרפוזיציה של התנודות החופשיות והמאולצות תביא לפעימות שמשרעתן תרד בהדרגה עד לאפס, כך שלבסוף משרעת התנודות נשארת קבועה. תדירות הפעימות היא ההפרש שבין תדירות הכח המאלץ, לבין תדירות התנודות העצמיות: <math>\omega_{beats} = |\Omega-\omega|</math> . זמן המעבר מוגדר להיות פרק הזמן בו חלים השינויים בגודל משרעת התנודות, אם נגביר את גורם הדעיכה, זמן המעבר יקטן.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)