לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תקציר מבוא לקומבינטוריקה, סמסטר א תשע״ג
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== פונקציות יוצרות === * טור חזקות פורמלי במשתנה <math>x</math> מכל <math>\mathbb F</math> (בד״כ <math>\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C</math>) הוא ביטוי מהצורה <math>\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> כאשר <math>\forall i:\ a_i\in\mathbb F</math>. הטור לא חייב להתכנס. אוסף טורי החזקות הפורמליים ב־<math>x</math> מעל <math>\mathbb F</math> מסומן <math>\mathbb F[[x]]</math>. :* אם <math>\exists n_0:\ \forall i>n_0:\ a_i=0</math> אז הטור הוא פולינום. אוסף הפולינומים ב־<math>x</math> מעל <math>\mathbb F</math> מסומן <math>\mathbb F[x]</math>. * '''נוסחת טיילור:''' אם <math>f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> אז <math>a_i=\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i</math>. * '''פונקציה יוצרת:''' לכל סדרה <math>(a_i)_{i=0}^\infty</math> נתאים פונקציה <math>\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math>. * '''פונקציה יוצרת מעריכית:''' לכל סדרה <math>(a_i)_{i=0}^\infty</math> נתאים פונקציה <math>\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{i!}x^i</math>. פונקציות אלה שימושיות לספירת עצמים עבורם הסדר משנה. * נרצה לחשב את <math>c_n:=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}</math>. נגדיר <math>f_1(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> ו־<math>f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty b_ix^i</math> ולכן <math>f_1(x)f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty c_i x^i</math>. * נרצה למצוא את מספר הפתרונות של <math>\sum_{i=1}^n t_i=k</math> כאשר <math>\forall i:\ t_i\in A_i\subseteq\mathbb N_0</math>. נתאים לכל משתנה פונקציה יוצרת <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i} x^t</math> ולכן מספר הפתרונות הדרוש הוא המקדם של <math>x^k</math> ב־<math>\prod_{i=1}^n f_i(x)</math>. * נרצה למצוא כמה חליפות עם חזרות קיימות של <math>k</math> מתוך <math>n</math> כאשר כל <math>i</math> חייב להופיע מספר פעמים השייך לקבוצה <math>A_i\subseteq\mathbb N_0</math>. נתאים לכל <math>i</math> פונקציה <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i}\frac{x^t}{t!}</math> ולכן הכמות הדרושה היא המקדם של <math>\frac{x^k}{k!}</math> ב־<math>\prod_{i=1}^n f_i(x)</math>. * אם <math>X:A\to\{0,1,\dots,n\}</math> משתנה מקרי כש־<math>|A|<\infty</math> ו־<math>f(x)=\sum_{k=0}^n |X^{-1}[\{k\}]|x^k</math> אז <math>f(1)=|A|</math>, התוחלת היא <math>\mbox{E}(X)=\frac{f'(1)}{f(1)}</math> והשונות היא <math>\mbox{V}(X)=\frac{f''(1)}{f(1)}+\mbox{E}(X)-\mbox{E}^2(X)</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)