לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 14 תשעח
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=עוצמות= '''הגדרה.''' יהיו <math>A,B</math> שתי קבוצות. אזי: *אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע ועל אז אומרים של-<math>A</math> ול-<math>B</math> '''יש אותה עוצמה'''. סימון <math>|A|=|B|</math>. *אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע אז אומרים כי העוצמה של <math>A</math> קטנה או שווה לזו של <math>B</math>. סימון <math>|A|\leq|B|</math>. * אם <math>|A|\leq|B|</math> וגם <math>|A|\not=|B|</math> אזי אומרים כי העוצמה של <math>A</math> קטנה ממש מהעוצמה של <math>B</math>. סימון <math>|A|<|B|</math>. הערה: בעזרת אקסיומת הבחירה מוכיחים כי אם קיימת <math>f:A\to B </math> על אזי <math>|B|\leq |A|</math>. === תרגיל === הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\varnothing\}|</math>. ==== פתרון ==== נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\varnothing\} </math> ע"י <math>\{n\}\mapsto \{n+1\},\varnothing \mapsto \{1\}</math> וכל <math>B</math> שאינה נקודון ואינה הקבוצה הריקה נשלח לעצמה. הפיכה כי יש לה הופכית: <math>f^{-1}:P(\mathbb{N})-\{\varnothing\}\to P(\mathbb{N})</math> ע"י <math>\{1\}\mapsto \varnothing,\{n\geq 2\}\mapsto \{n-1\}</math> וכל <math>B</math> שאינה נקודון נשלחת לעצמה. ===תרגיל === הוכיחו כי <math>|A\times A| = |A^{\{1,2\}}|</math>. פתרון: הפונקציה <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה. חח"ע: נניח <math>F(f)=F(g)</math> לכן <math>(f(1),f(2))=(g(1),g(2))</math>, ולכן <math>f(1)=g(1)\land f(2)=g(2)</math> וזו אותה פונקציה. על: יהי <math>(a,b)\in A\times A</math>, הפונקציה שמוגדרת ע"י <math>1\mapsto a,2\mapsto b</math> היא מקור. ===משפט (קנטור-שרדר-ברנשטיין)=== אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math>. בהמשך נקצר לק.ש.ב. ===תרגיל=== הוכיחו: <math>|\mathbb{Q}\cap [0,1]|=\aleph_0</math>. ====פתרון==== לפי ק.ש.ב. כי הקבוצה מוכלת ברציונליים ומכילה <math>\aleph_0</math> שברים מהצורה <math>\frac{1}{n}</math>. ===תרגיל=== הוכיחו כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר <math>a<b</math> ממשיים. ====פתרון==== נראה שכולם שווי עוצמה לקטע <math>(0,1)</math>. ראשית נגדיר <math>f:(0,1)\rightarrow (a,b)</math> ע"י <math>f(x)=a+(b-a)x</math> חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב. טענה: הקטע <math>(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> בעל עוצמה שווה ל-<math>\mathbb{R}</math>. הוכחת הטענה: הפונקציה <math>\tan:(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}</math> הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל. ===תרגיל === תהא <math>A</math> קבוצה. הוכיחו כי <math>|A|\leq |P(A)|</math>. פתרון: נגדיר את הפונקציה <math>f:A|\to P(A)</math> ע"י <math>a \mapsto \{a\}</math> והיא חח"ע. תהא <math>A</math> קבוצה. הוכיחו כי <math>|A|\neq |P(A)|</math>. פתרון: נניח בשלילה כי <math>|A|= |P(A)|</math> אזי קיימת <math>f: A\to P(A)</math> הפיכה, בפרט על. נגדיר <math>X=\{a\in A: a\notin f(a)\}</math>. זוהי תת קבוצה של <math>A</math> ולכן, מכיוון ש-<math>f</math> על, קיים <math>x\in A</math> כך ש-<math>f(x)=X</math>. האם <math>x\in X</math>? אם לא, לפי הגדרת <math>X</math> נקבל כי <math>x\notin f(x)=X</math>, סתירה. אם כן אז <math>x\in X=f(x)</math> אבל לפי הגדרת <math>X</math> מתקיים <math>x\notin f(x)</math> סתירה. מש"ל.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)