לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 1 מדמח קיץ תשעז
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פסוקים וקַשָּרִים, הצרנה וטבלאות אמת== === אטומים, פסוקים וקשרים=== הגדרה (לא פורמאלית): השפה העברית מורכבת ממשפטים. המקבילה בשפה המתמטית נקראת "פסוק".ה'''אטומים''' הם חלק מאבני היסוד של הפסוקים. לדוגמא: הפסוק "שנת הלימודים החלה ויש 5 קורסים בשנה א'" מורכב משני אטומים- "שנת הלימודים החלה" ו"יש 5 קורסים בשנה א'" (שני האטומים מקשורים ע"י וו החיבור) בצורה אחרת: אטומים הם יחידה תוכן בסיסית. פסוקים הם יחידות יותר מורכבות המורכבות מאטומים וקשרים. אטום מקבל ערך אמת TRUE ׁויסומן ב T או 1 (כלומר הוא אמיתי) או ערך עמת FULSE ויסומן ב F או 0 ׁ(כלומר הוא שקרי). פסוקים יקבלו ערך אמת לפי ערכי האמת של האטומים והקשרים המעורבים בפסוק. כפי שציינו פסוקים הם יחידות תוכן יותר מורכבות בשל השימוש בקשרים. ==== קשרים ==== הגדרה: יהיו A,B אטומים (או פסןקים) היכולים להיות אמת (1) או שקר (0) אזי הקשרים * <math>A\to B</math> - "גרירה" (חד כיוונית) * <math>A \or B</math> "או" * <math>A\and B</math> "וגם" * <math>\neg A</math> "שלילה" מוגדרים ע"י טבלאת האמת הבאה (טבלת שכל שורה בה מתאימה להצבה אחרת אחרת באטומים): {| border="1" align="center" style="text-align:center;" | <math>\neg A</math> |<math>A\and B</math> |<math>A \or B</math> |<math>A \to B</math> |<math>B</math> |<math>A</math> |- |1 |0 |0 |1 |0 |0 |- |1 |0 |1 |1 |1 |0 |- |0 |0 |1 |0 |0 |1 |- |0 |1 |1 |1 |1 |1 |- |} הערה: קשר נוסף שהינו נפוץ בתחום המתמטקיה והוא גרירה דו-כיוונית (ידוע בכינויו אם ורק אם, אמ"מ). הגדרתו פשוטה (נובעת משמו..) והיא מוגדרת ע"י קשר הגרירה החד כיווני. <math>A\leftrightarrow B := (A\rightarrow B)\and(B\rightarrow A)</math> קשר נוסף הינו "או מוציא", נגדיר אותו ע"י: <math>A \oplus B := \lnot(A\leftrightarrow B)</math> דוגמאות מילוליות: * '''אם''' נסיים את החומר של השיעור '''אז''' נגמור מוקדם. אם נסיים את החומר וגם לא נגמור מוקדם אז הפסוק יקבל ערך F. אם לא נסיים את החומר וגם לא נגמור מוקדם אז הפסוק יקבל ערך T. * אינדוקציה לומדים בתיכון '''וגם''' זה קל. הפסוק יקבל ערך T רק אם האטומים המרכיבים אותו יקבלו ערך T (כלומר שניהם יתקיימו) * 3 הוא מספר ראשוני '''או''' 5 הוא מספר ראשוני. הפסוק הזה מקבל ערך T כיוון ש 3/5 מספר ראשוני. גם הפסוק "3 הוא מספר ראשוני '''או''' 4 הוא מספר ראשוני" הוא בעל ערך T. * מספר (טבעי) מסוים n ניתן להצגה בעזרת 2 ספרות (בבסיס עשרוני) <math>\leftrightarrow</math> המספר n קטן מ 100. הפסוק יקבל ערך T רק אם שני התנאים יתקיימו ביחד. במילים אחרות, אם אחד מתקיים גם השני. במילים אחרות, אם אחד לא מתקיים והשני אז השני גם לא מתקיים. ===טאוטולוגיות=== הגדרה : טאוטולוגיה הינה פסוק המקבל ערך אמת <math>T</math> לכל הצבה באטומים המעורבים בפסוק. למשל <math>A \or \neg A</math> הגדרה: נאמר שביטוי <math>A</math> שקול טאוטולוגית לביטוי <math>B</math> (ונסמן <math>A \equiv B</math>) אם יש להם את אותה טבלת אמת. הערה: במקרה זה הביטוי <math>A \leftrightarrow B</math> הינו טאוטולוגיה (במילים: A קורה אמ"מ B קורה) תכונות הקשרים: * קיבוציות <math>(A\land B) \land C =A\land (B \land C), (A\lor B) \lor C =A\lor (B \lor C) </math> * חילופיות <math>A\land B =B\land A, A\lor B = B\lor A</math> * פילוג <math>A\lor (B\land C)= (A\lor B)\land (A\lor C), A\land (B\lor C)= (A\land B)\lor (A\land C)</math> * כללי דה מורגן <math>\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B, \neg (A \land B) = \neg A \lor \neg B</math>. תוכיחו אחד מהם בתרגיל הבית * <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \vee B)</math>. * <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv ((A \wedge B)\vee((\neg A)\wedge (\neg B)</math>. * <math>\ (A \rightarrow B) \equiv ((\neg B) \rightarrow (\neg A))</math>. =====תרגיל===== הוכח: <math>\lnot (p\lor (q\land \lnot r))\land q\equiv \lnot p\land (r\land q)</math> פיתרון: <math>\lnot (p\lor (q\land \lnot r))\land q\equiv (\lnot p\land \lnot (q\land \lnot r))\land q\equiv (\lnot p\land (\lnot q \lor \lnot \lnot r))\land q \equiv (\lnot p\land (\lnot q\lor r))\land q \equiv</math> <math> \lnot p \land(q\land (\lnot q \lor r)) \equiv \lnot p \land ((q\land \lnot q)\lor (q\land r))\equiv \lnot p\land (F\lor (q\land r))\equiv \lnot p\land (r\land q)</math> ==== הצרנה ==== הצרנה- כתיבת רעיון בעזרת ניסוח פורמאלי דוגמא: נצרין את המשפט: "אם יש בגרות בשעה חופפת לקורס אז הוא מתבטל ". נגדיר <math>A</math> = יש בגרות בשעה שחופפת לקורס. <math>B</math>= הקורס מתבטל. המשפט אומר <math>A\to B </math>. כלומר בגרות בשעה חופפת לקורס זה תנאי מספיק לכך שהקורס מתבטל. שימו לב שזהו לא תנאי הכרחי כי יתכן שהקורס יתבטל מסיבות אחרות. הצרן: למדתי היטב למבחן, ואף על פי כן נכשלתי בו. פתרון: נסמן A למדתי לבמחן, B נכשלתי במבחן אזי ההצרנה היא <math>A\land B</math> הצרן: "ערן לובש חולצה סגולה בכל פעם שהוא לובש מכנסיים בצבע שחור" פתרון: נסמן A ערן לובש חולצה סגולה. נסמן B ערך לובש מכנסיים שחורות. ההצרנה <math>B\to A</math> הצרן: "כאשר אני עייף ורעב אני נעשה עצבני, או שאני הולך לישון; אבל אם אני עצבני ולא עייף, אז אני רעב". פתרון: נסמן A אני עייף, B אני רעב, C אני עצבני, D אני הולך לישון ההצרנה <math>[(A\land B)\to (C\lor D)]\and[(C \land \lnot A)\to B]</math> הערה (טרמינולוגיה): *כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ל A פירושו הוא <math>A \to B</math> *כאשר אומרים ש B הוא תנאי מספיק ל A פירושו הוא <math>B \to A</math> *כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ומספיק ל A פירושו הוא <math>B \iff A</math> =====תרגיל===== השלם את המשפט הבא: כדי שירד גשם _____ שיהיו עננים בשמים. לכן אם נצרין ע"י "יש עננים בשמים = A", "יורד גשם = B" נקבל "A____B". פיתרון: הכרחי, <math>\leftarrow </math> =====תרגיל===== האם המשפטים הבאים שקולים: א. אם אייל שמח אז ענת גבוהה, ואם ענת גבוהה אז צחי חמוד. ב. כאשר אייל שמח אז צחי חמוד. פיתרון: לא. אייל לא שמח, ענת גבוהה וצחי לא חמוד נותן <math>T</math> בשני ו<math>F</math> בראשון. ====גרירה טאטולוגית==== הביטוי <math>A\Rightarrow B</math> נקרא גרירה טאטולוגית ופירושו: הפסוק <math>A\rightarrow B</math> הינו טאוטולוגיה. לכן כשנדרשים להוכיח משפט מהצורה הזו נראה שאם A נכון אז גם B נכון. או במילים אחרות: נניח שA נכון ונוכיח שגם B נכון. =====תרגיל===== רשום נכון או לא נכון: א. כאשר יורד גשם, יש עננים או שיש ברז כיבוי אש פתוח. ב. אם אין ברז כיבוי אש פתוח אז יורד גשם. מסקנה: יש עננים אמ"ם יורד גשם. פתרון: לא נכון: יורד גשם, אין עננים ויש ברז כיבוי אש פתוח. א+ב מקבלים ערך <math>T</math> והמסקנה <math>F</math> =====תרגיל===== רשום נכון או לא נכון: א. כאשר יורד גשם, יש עננים או שיש ברז כיבוי אש פתוח. ב. אם אין ברז כיבוי אש פתוח אז יורד גשם. מסקנה: אם אין ברז כיבוי אש פתוח אז יש עננים. פתרון: נכון. נניח שאין ברז כיבוי אש פתוח. לכן לפי ב יורד גשם. כעת מסעיף א יש עננים או ברז פתוח, ובצירוף לזה שהנחנו שאין ברז פתוח נותר שיש עננים.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)