לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 4 תשעז
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=אינדוקציה מתמטית: רעיון בסיסי= אינדוקציה היא שיטה המאפשרת להוכיח שטענה מסוימת <math>P(n)</math> נכונה עבור כל מספר טבעי (למשל <math>(1+2+\cdots +n)^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3</math>) בעזרת הסקה מן הפרט אל הכלל. הוכחת הטענה <math>\forall nP(n)</math> שקולה להוכחת שתי הטענות הבאות: * (בסיס האינדוקציה) הטענה מתקיימת עבור <math>n=1</math>. כלומר <math>P(1)</math> נכון. * (צעד האינדוקציה) '''אם''' הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים, אז היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו. כלומר <math>P(n)\rightarrow P(n+1)</math>. למה זה מספיק? בוא נחשוב. הוכחנו באופן ישיר כי הטענה נכונה עבור <math>n=1</math> כלומר <math>P(1)</math> מתקיים. לכן לפי הטענה השניה, אם הטענה נכונה עבור <math>n=1</math> (שזה אכן כך) אז הטענה נכונה גם עבור <math>n=2</math>. כלומר <math>P(2)</math>. אה! אז עכשיו זה נכון עבור <math>n=2</math>, אז לפי אותה טענה זה נכון גם עבור <math>n=3</math>! ומה עכשיו? אם זה נכון עבור <math>n=3</math>, זה נכון עבור <math>n=4</math>. וכן הלאה באותה הדרך. אפשר להשתכנע שבסופו של דבר <math>P(n)</math> נכון '''לכל''' <math>n</math>. '''דוגמה:''' נוכיח באינדוקציה כי הטענה <math>(1+2+\cdots +n)^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3</math> נכונה לכל <math>n\in \mathbb{N} </math> טבעי. הוכחה: עבור <math>n=1</math> אכן מתקיים כי <math>1^2=1^3</math>. כעת נראה שאם הטענה נכונה עבור <math>n</math> כלשהוא, כלומר אם מתקיים <math>(1+2+\cdots +n)^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3</math> אזי הטענה נכונה עבור <math>n+1</math>, כלומר <math>(1+2+\cdots +n+(n+1))^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3 + (n+1)^3</math>. כלומר נוכיח ש: <math>P(n) \to P(n+1)</math> נוכיח: <math>(1+2+\cdots +n+(n+1))^2=(1+2+\cdots +n)^2+2\cdot(1+2+\cdots +n)(n+1)+(n+1)^2 </math> לפי הנחת האינדוקציה אפשר להמשיך הלאה: <math>=1^3 +2^3 + \cdots +n^3 +2\cdot (1+2+\cdots +n)(n+1)+(n+1)^2 </math> <math>=1^3 +2^3 + \cdots +n^3 +2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}(n+1)+(n+1)^2 </math> <math>=1^3 +2^3 + \cdots +n^3 +n(n+1)^2+(n+1)^2</math> <math>=1^3 +2^3 + \cdots +n^3 +(1+n)(n+1)^2=1^3 +2^3 + \cdots +n^3+(n+1)^3</math> וסיימנו. '''דוגמה:''' הוכח כי לכל מספר טבעי <math>n</math> מתקיים כי <math>2+4+6+\cdots +2n=n(n+1)</math> פתרון: עבור <math>n=1</math> אכן מתקיים <math>2=1\cdot(1+1)</math> כעת נניח שהטענה נכונה עבור <math>n</math> ונוכיח את הטענה עבור <math>n+1</math> <math>2+4+\cdots 2n+2(n+1)=\sum_{k=1}^{n+1}2\cdot k=\sum_{k=1}^{n}2\cdot k + 2(n+1) = </math> לפי הנחת האינדוקציה ניתן להמשיך <math>=n(n+1)+2(n+1)=(n+1)(n+2)</math> שזה הטענה עבור <math>n+1</math> וסיימנו.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)