לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==מטריצות הפיכות== '''הגדרה''': מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> נקראת '''הפיכה''' אם קיימת מטריצה B כך ש <math>AB=BA=I</math>. במקרה זה, מטריצה B נקראת '''ההופכית''' של A ומסומנת <math>B=A^{-1}</math>. '''הערות''' *מטריצה הפיכה היא בהכרח ריבועית * המטריצה ההופכית <math>A^{-1}</math> היא יחידה. דוגמא: ההופכית של המטריצה <math>A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)</math> היא <math>A</math> עצמה. נבדוק, אכן מתקיים ש <math>AA=I</math> (קל לראות בעזרת כפל שורה-שורה) '''משפט''': אם A '''ריבועית''' ו<math>AB=I</math> אזי גם <math>AB=BA=I</math> וB הינה ההופכית של A. כלומר מטריצה שהפיכה מצד אחד הפיכה משני צדדים. תרגיל: הוכח כי <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math> פתרון: מספיק להוכיח רק כי <math>(AB)(B^{-1}A^{-1})=I</math> (לפי משפט ממוקדם) ואכן, בגלל קיבוציות כפל מטריצות + הגדרת הופכית, נקבל כי <math>A(BB^{-1})A^{-1}=A(I)A^{-1}=AA^{-1}=I</math> תרגיל (הכללה): יהיו <math>Aֹ_1,A_2,\dots A_k</math> מטריצות אזי המכפלה <math>A_1\cdot A_2\cdots A_k </math> הפיכה אמ"מ לכל <math>i</math> מתקיים <math>A_i</math> הפיכה (כל המטריצות הפיכות). במקרה זה <math>(A_1\cdot A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdot A_{k-1}^{-1}\cdots A_1^{-1} </math> הוכחה (חלקית): כיוון ראשון (<math>\Rightarrow</math>) : בדיקה ישירה כי <math>(A_1\cdot A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdot A_{k-1}^{-1}\cdots A_1^{-1} </math> כיוון שני (<math>\Leftarrow</math>) : נתון שהמכפלה הפיכה. צריך להוכיח שכל אחת מהמטריצות הפיכה. נסמן את ההופכית של המכפלה ב <math>B</math> אזי מתקיים לפי הגדרה כי <math>A_1\cdot A_2\cdots A_k\cdot B=I </math> ומכאן רואים ישירות כי <math>A_1^{-1}=A_2\cdots A_k\cdot B </math>. כעת נכפיל ב <math>A_1^{-1}</math> משמאל וב <math>A_1</math> מימין ונקבל כי <math> A_2\cdots A_k\cdot B\cdot A_1=I </math> ומכאן ש <math>A_2^{-1}= A_3\cdots A_k\cdot B\cdot A_1</math> וכן על זאת הדרך... מסקנה: אם <math>A</math> הפיכה אזי לכל <math>n</math> טבעי מתקיים כי <math>(A^{n})^{-1}=(A^{-1})^n</math>. נגדיר את <math>A^{-n}</math> כאחד מהביטויים הנ"ל. '''!הערה!''' לא ניתן לדעת שום דבר על הביטוי <math>(A+B)^{-1}</math>. למשל * <math>A=I,B=-I</math> הפיכות ו <math>A+B=0</math> לא הפיכה. * <math>A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right),\, B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)</math> לא הפיכות ו <math>A+B=I</math> הפיכה. ===תרגיל === תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה עם שורת אפסים. הוכח: <math>A</math> לא הפיכה. ====פתרון==== תהא שורה <math>i</math> שורת האפסים של <math>A</math>. אזי לכל מטריצה <math>B</math> מתקיים <math>R_{i}(AB)=R_{i}(A)B=\vec{0}B=\vec{0}\neq R_i(I)</math> (לפי כפל שורה שורה) בפרט לא קיימת <math>B</math> כך ש <math>AB=I</math> כיוון ש <math>R_i(I)\neq 0</math>. ===תרגיל 6.1 וחצי=== הוכח שאם A הפיכה אזי גם המשוחלפת שלה הפיכה ומתקיים <math>(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t</math>. הסק שאם A הפיכה וסמטרית אזי גם ההופכית שלה סימטרית. ====פתרון==== נניח A הפיכה, אזי קיימת לה הופכית כך ש <math>AA^{-1}=I</math>. נשחלף את שני האגפים ונקבל <math>(A^{-1})^tA^t=I^t=I</math> ומכאן המש"ל כיוון שA ריבועית וכך גם המשוחלפת שלה. אם A הפיכה וסימטרית מתקיים <math>(A^{-1})^t=(A^t)^{-1}=A^{-1}</math> כלומר ההופכית גם סימטרית. ===תרגיל === תהא <math>A</math> מטריצה ריבועית כך ש <math>A+A^2</math> הפיכה. הוכח כי <math>A,A+I</math> הפיכות ====פתרון==== כיון ש- <math>A+A^2=A(A+I)</math>, ונתון ש- <math>A+A^2</math> הפיכה, לכן <math>A(A+I)</math> הפיכה, ומתרגיל קודם על "מכפלה הפיכה אם ורק אם מוכפלת מהפיכות" נקבל הדרוש. דרך נוספת: נתון שקיימת <math>B</math> כך ש <math>(A+A^2)B=I</math> אבל זה שווה ל <math>A(A+I)B=I</math> ומכאן ש <math>A^{-1}=(A+I)B</math> הפיכה. באופן דומה <math>(A+I)AB=I</math> ומכאן ש <math>(A+I)^{-1}=AB</math> הפיכה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)