לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==צירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span)== '''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו <math>v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math> ו <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{F}</math> אזי ביטוי מהצורה <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}</math> נקרא צירוף לינארי (צ"ל) של <math>v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math>. לדוגמא: <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>. אזי <math>\pi\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right)-\sqrt{3}\left(\begin{array}{c} 2\\ 2 \end{array}\right)</math> הוא צירוף לינארי. הגדרה: '''המרחב הנפרש''' על ידי הוקטורים <math>v_1,...,v_n</math> מוגדר להיות '''קבוצת (אוסף) כל ה[[צירוף לינארי|צירופים הלינאריים]]''' של הוקטורים הללו. כלומר, <math>span\{v_1,...,v_n\}=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | a_1,...,a_n\in\mathbb{F}\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+a_nv_n=v\}</math>. באופן כללי: תהא <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה של מ"ו (ייתכן קבוצה אין סופית) אזי <math>span(S)=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | n\in \mathbb{N}, \, a_1,...,a_n\in\mathbb{F}, \, v_1,\dots,v_n\in S\}</math> באופן שקול <math>span(S)</math> הוא איחוד כל הצירופים הלינאריים של כל תתי הקבוצות הסופיות של <math>S</math>. הערה: <math>span(S)</math> הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. בנוסף הוא התת מרחבב הקטן ביותר (מינימום לפי יחס ההכלה) המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש כלומר אם ת"מ <math>W\leq V</math> מקיים <math>S\subseteq W</math> אזי <math>span(S)\subseteq W</math> הוכחה אם <math>v\in spanS</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים <math>v_1,...,v_k\in S</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>. מתוך הנתון ש<math>S\subseteq W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W</math> משל. '''הערה:''' אם <math>S=\emptyset</math> קבוצה ריקה אזי מגדירים פורמאלית כי <math>span(S)=\{0\}</math> ===תכונות === יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי #<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים. #<math>A\subseteq span(A)</math> #<math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math> # בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math> ## באופן כללי מתקיים כי <math>span(A)+span(B)=span(A\cup B)</math>. הוכחה: מצד אחד <math>A,B\subseteq A\cup B</math> ולכן <math>span(A),span(B)\subseteq span(A\cup B)</math> ולכן <math>span(A)+span(B)\subseteq span(A\cup B)</math>מצד שני <math>A\subseteq span(A)\subseteq span(A)+span(B)</math> ובאופן דומה גם <math>B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>A\cup B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>span(A\cup B)\subseteq span(A)+span(B)</math> #<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!) #מסקנה: אם <math>A\subseteq span(B)</math> אז <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה: <math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>) ==== תרגיל ==== יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>S_{1},S_{2}</math> תתי קבוצות. הוכיחו/הפירכו: # <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\supseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math> # <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\subseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math> ===תרגילים=== ====תרגיל 1 ==== במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר <math>S=\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2\\ 2 \end{array}\right)\}</math> מצא עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)\in span(S) </math> =====פתרון ===== שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש <math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c} 2\\ 3 \end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c} -2\\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)</math> שזה בעצם לשאול האם למערכת <math>\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & a\\ 1 & 3 & 2 & b \end{array}\right) </math> יש פתרון. נדרג ונבדוק <math>\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & a\\ 1 & 3 & 2 & b \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & a\\ 0 & 1 & 4 & b-a \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -10 & 3a-2b\\ 0 & 1 & 4 & b-a \end{array}\right)</math> כלומר יש פתרון למערכת (אפילו אינסוף פתרונות) ולכן לכל <math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)\in span(S) </math> כלומר <math>span(S)=\mathbb{R}^{2}</math> ====תרגיל 2 ==== במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר <math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 3 \end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\}</math> הציגו את <math>span(S)</math> ע"י משוואות. מצאו, אם קיים, מטריצה שאינה ב <math>span(S)</math>. האם S בת"ל? =====פתרון ===== שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)</math> אם נייצג כל מטריצה באמצעות וקטור. למשל <math>\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 3 \end{array}\right)\leftrightarrow\left(\begin{array}{c} 2\\ 0\\ 1\\ 3 \end{array}\right)</math> נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשוואה <math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c} 2\\ 0\\ 1\\ 3 \end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ d \end{array}\right)</math> (שימו לב שאלו בדיוק אותם ארבעת המשוואות). כעת נוכל פשוט לשאול האם למערכת <math>\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & a\\ 1 & 0 & -1 & b\\ 0 & 1 & 1 & c\\ 1 & 3 & 0 & d \end{array}\right)</math> יש פתרון נדרג ונבדוק: <math>\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & a\\ 1 & 0 & -1 & b\\ 0 & 1 & 1 & c\\ 1 & 3 & 0 & d \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & b\\ 0 & 1 & 1 & c\\ 1 & 3 & 0 & d\\ 1 & 2 & 1 & a \end{array}\right)\to\\\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & b\\ 0 & 1 & 1 & c\\ 0 & 3 & 1 & d-b\\ 0 & 2 & 2 & a-b \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & b\\ 0 & 1 & 1 & c\\ 0 & 0 & -2 & d-b-3c\\ 0 & 0 & 0 & a-b-2c \end{array}\right)</math> רואים שיש פתרון אמ"מ <math>a-b-2c=0</math> לכן התשובה הסופית היא <math> span(S)=\{\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)\,|\,a-b-2c=0\}= \{\left(\begin{array}{cc} b+2c & b\\ c & d \end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = \\ \{ b\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) \,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = span\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\} </math> כמו שרואים בפתרון הסופי, ניתן להביע את התת מרחב שלנו בכמה צורות. הנה עוד דוגמא ====== הערה: ניתן להגדיר/להציג תת מרחב בכמה דרכים ====== בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו תת מרחב נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את אותו תת המרחב הוקטורי. '''תרגיל.''' יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות: *<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> *<math>\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math> *<math>\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}</math> '''פתרון:''' נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות: <math>\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & | & x \\ 1 & 1 & 1 & | & y \\ 1 & 3 & 2 & | & z \\ 1 & -1 & 0 & | & w \\ \end{pmatrix}</math> נדרג את המערכת לקבל <math>\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & y \\ 0 & 2 & 1 & | & x \\ 0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\ 0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\ \end{pmatrix}</math> '''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה. (שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.) כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''. <math>\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix}</math> <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0 \\ \end{pmatrix}</math> יש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)