לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5/פתרון
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== 1. == ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה. ===א=== מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c/09Infi2sol10.pdf תרגיל הבית] ===ב=== קל להבחין כי לכל x בתחום מתקיים: <math>\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}sin(e^{n}x)=0</math>. (חסומה כפול 0) נראה שההתכנסות הינה במ"ש באמצעות מבחן הlimsup: <math>0\leq \lim_{n \to \infty} \text{sup}|\frac{sin(e^{n}x)}{n}-0|\leq \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0</math> ולכן סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש ל0. ===ג=== <math>\lim_{n \to \infty}nsin(\frac{x}{n})=\lim_{n \to \infty}\frac{sin(\frac{x}{n})}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}x\frac{sin(\frac{x}{n})}{\frac{x}{n}}=x</math> לכן סדרת הפונקציות מתכנסת ל<math>f(x)=x</math>. נראה שההתכנסות אינה במ"ש. נניח בשלילה ששהתכנסות במ"ש, אז מכיוון שמדובר בסדרה של פונקציות אינטגרביליות אמור להתקיים: <math>\int_{0}^{x}nsin(\frac{t}{n})dt \to \int_{0}^{x}tdt</math> כאשר <math>n \to \infty</math>, ואפילו במ"ש. אולם מתקיים, <math>\int_{0}^{x}nsin(\frac{t}{n})dt=n^{2}cos(\frac{x}{n})-n^{2} \to 0\neq \int_{0}^{x}tdt=\frac{x^{2}}{2}</math> ולכן מתקבלת סתירה להנחה שההתכנסות הינה במ"ש. ===ד=== מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c/09Infi2sol10.pdf תרגיל הבית]. '''דרך אלטרנטיבית:''' ראשית, נבדוק את ההתכנסות הנקודתית: <math>\lim_{n \to \infty}x \cdot arctan(nx)=\frac{\pi}{2} x</math>. על מנת להוכיח את ההתכנסות במידה שווה, נפצל את הבדיקה לשני קטעים: <math>[1, \infty),[0,1]</math>. '''בקטע הסגור,''' נוכל להפעיל את [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%99 משפט דיני] (בדקו שכל התנאים אכן מתקיימים!). '''בקטע הפתוח שנותר,''' נביט בסדרת הנגזרות ונוכיח שהיא מתכנסת במ"ש. <math>f'_{n}(x)=arctan(nx)+\frac{nx}{1+(nx)^{2}}</math>, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע <math>[1, \infty)</math>. מכאן, מראים שהפוקנציות מונוטוניות יורדות בקטע ואז משתמשים במבחן הlimsup. מתקיימים כל התנאים כדי שההתכנסות במ"ש הזו, תגרור את ההתכנסות במ"ש של הסדרה המקורית.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)