לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הרצאה 3 חבורת תמורות, סימן התמורה; פרק 5 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] == ===סימן של תמורה=== *נביט בחבורת התמורות <math>S_n</math>. *עבור <math>f\in S_n</math> נגדיר את הסימן <math>\mathrm{sign}(f):=\Pi_{i\neq j}\frac{x_{f(i)}-x_{f(j)}}{x_i-x_j}</math>. *הסימן של תמורה הוא תמיד פלוס או מינוס 1. *אם סימן התמורה הוא מינוס אחד אומרים שהיא '''אי-זוגית''' או '''שלילית''', ואם הסימן הוא אחד אומרים שהיא '''זוגית''' או '''חיובית'''. *כפליות הסימן: תהיינה שתי תמורות <math>f,g\in S_n</math>, אזי <math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\mathrm{sign}(f)\cdot\mathrm{sign}(g)</math>. **הוכחה: **<math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\Pi_{i\neq j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_i-x_j}=\Pi_{i\neq j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_{g(i)}-x_{g(j)}}\cdot\frac{x_{g(i)}-x_{g(j)}}{x_i-x_j}</math> **כיוון שg חח"ע ועל,אוסף הזוגות <math>i\neq j</math> שווה לאוסף הזוגות <math>g(i),g(j)</math>, ולכן <math>\Pi_{i\neq j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_{g(i)}-x_{g(j)}}=\mathrm{sign}(f)</math>. **סה"כ קיבלנו <math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\mathrm{sign}(f)\cdot\mathrm{sign}(g)</math>. <videoflash>Lmk0izbQR08</videoflash> ===מחזורים=== *מחזור <math>(a_1\ a_2\ \cdots \ a_k)</math> מייצג את התמורה f המקיימת <math>f(a_1)=a_2,...,f(a_{k-1})=a_k,f(a_k)=a_1</math> ולכל איבר אחר <math>f(a)=a</math>. *לדוגמא: <math>\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}=(1\ 4\ 3\ 5)\in S_5</math> *כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים זרים, ואת תמורה הזהות ניתן להציג כ<math>(1)</math>. *חילוף הוא מחזור באורך 2. *חילוף הוא תמורה אי זוגית. **נוכיח עבור <math>f=(1\ 2)\in S_n</math>. (זה מספיק כיוון שהשם של האיברים לא משנה.) **<math>\mathrm{sign}(f)=\left(\frac{x_2-x_1}{x_1-x_2}\cdot\frac{x_2-x_3}{x_1-x_3}\cdots \frac{x_2-x_n}{x_1-x_n}\right)\cdot\left(\frac{x_1-x_3}{x_2-x_3}\cdots\frac{x_1-x_n}{x_2-x_n}\right)\left(\cdot\frac{x_3-x_4}{x_3-x_4}\cdots\frac{x_{n-1}-x_n}{x_{n-1}-x_n}\right)=-1</math> *כל מחזור ניתן להציג כהרכבה של חילופים: **<math>(a_1\ a_2\ \cdots \ a_k)=(a_1\ a_2)(a_2\ a_3)\cdot (a_{k-1}\ a_k)</math> **כל איבר שלא מוזכר במחזור נשלח לעצמו, ונציב בשני הצדדים את <math>a_1,...,a_{k-1}</math> ונראה כי הפונקציות שוות. **כיוון שמדובר בפונקציה הפיכה, אין צורך לבדוק את האיבר האחרון <math>a_k</math>. *מסקנה: כיוון שסימן כל חילוף הוא שלילי ולפי כפליות הסימן, הסימן של מחזור באורך k הוא <math>(-1)^{k-1}</math>. *דוגמא: **<math>f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\4&2&5&3&1&7&6\end{pmatrix}=(1\ 4\ 3\ 5)(6\ 7)</math>. **לכן <math>\mathrm{sign}(f)=(-1)\cdot(-1)=1</math>, כלומר מדובר בתמורה זוגית. <videoflash>oXntZnnoHfM</videoflash>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)