לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.7.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==דוגמה 5== <math>\{f_n\}</math> היא סדרת פונקציות בעלות השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math> כך שקיים כך שלכל n מתקיים <math>\overset b\underset aV f_n\le M</math>. הוכח או הפרך: אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\overset b\underset aV f<\infty</math>. ===פתרון=== הוכחה: ניקח חלוקה כלשהי <math>P=\{x_k\}_{k=0}^m</math> של <math>[a,b]</math>. לכל n מתקיים <math>v(f_n,P)=\sum_{k=1}^m |f_n(x_k)-f_n(x_{k-1})|\le M</math>. נשאיף <math>n\to\infty</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^m |f(x_k)-f(x_{k-1})|\le M</math> באופן בלתי תלוי ב-P. לכן <math>\overset b\underset aV f\le M</math>. {{משל}} נעיר כי אם אין חסם עליון M להשתנויות הכלליות של סדרת הפונקציות אזי הטענה מופרכת: ברור שהפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac1x\right)&x\ne0\\0&\text{else}\end{cases}</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ובעלת השתנות בלתי חסומה בקטע. נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}0&0\le x\le\frac1{\pi n}\\x\sin\left(\frac1x\right)&\text{else}\end{cases}</math> לכל n. נעיר שלכל n יש ל-<math>f_n</math> השתנות חסומה. נוכיח כי <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[0,1]</math>: עבור <math>\frac1{\pi n}<x\le 1</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|=0</math> ואילו אם <math>0\le x\le\frac1{\pi n}</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|=|f(x)|=\left|x\sin\left(\frac1x\right)\right|\le |x|\le\frac1{\pi n}\to0</math> ולכן ההתכנסות במ"ש.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)