לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - תרגול/1.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==מבחני ההשוואה לאינטגרל לא אמיתי מסוג II== בשני המבחנים f,g אינטגרביליות מקומית ב-<math>(a,b]</math>. ===מבחן ההשוואה=== נניח ש-<math>0\le g(x)\le f(x)</math>. אזי אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס גם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס. ===מבחן ההשוואה הגבולי=== נניח ש-<math>0\le f(x),g(x)</math> וכן <math>L=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. * אם <math>0<L<\infty</math> נאמר ש-<math>\int\limits_a^b f</math> ו-<math>\int\limits_a^b g</math> מתבדרים או מתכנסים יחדיו. * אם <math>L=0</math> אז התכנסות <math>\int\limits_a^b g</math> גוררת התכנסות <math>\int\limits_a^b f</math>. * אם <math>L=\infty</math> אז התכנסות <math>\int\limits_a^b f</math> גוררת התכנסות <math>\int\limits_a^b g</math>. ===דוגמה 4=== קבעו התכנסות של <math>\int\limits_0^1 \frac{\mathrm dx}{1-\cos(x)}</math>. ====פתרון==== נשווה ל-<math>g(x)=\frac1{x^2}</math>: לפי כלל לופיטל <math>\lim_{x\to0^+}\frac{1/(1-\cos(x))}{1/x^2}=\lim_{x\to0^+}\frac{x^2}{1-\cos(x)}=\lim_{x\to0^+}\frac{2x}{\sin(x)}=2</math>. ידוע כי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתבדר ולכן האינטגרל הנתון מתבדר גם כן. {{משל}} ===דוגמה 5=== קבעו התכנסות <math>\int\limits_0^1\frac{\cos(1/x)\mathrm dx}x</math>. ====פתרון==== קל להפוך את האינטגרל מסוג II לסוג I ע"י הצבה <math>y=\frac1x</math>. לכן <math>\mathrm dx=-\frac{\mathrm dy}{y^2}</math> ונקבל <math>\int\limits_\infty^1 y\cos(y)\frac{-1}{y^2}\mathrm dy=\int\limits_1^\infty\frac{\cos(y)}y\mathrm dy</math>. ניתן להראות כי אינטגרל זה מתכנס בדומה למה שעשינו עם <math>\int\frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math>, בעזרת מבחן דיריכלה. {{משל}} ===דוגמה 6=== הוכיחו התכנסות בתנאי של <math>\int\limits_0^1\frac{\cos(1/x)}x\mathrm dx</math>. ====פתרון==== מצאנו כבר כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos(1/x)}x\mathrm dx</math> מתכנס. נותר לבדוק התכנסות בהחלט: ברור כי <math>\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|\le1</math>. אם רוצים להשתמש במבחן ההשוואה צריך ביטוי קטן ממנו להראות התבדרות. למשל <math>\cos^2\left(\frac1x\right)\le\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|</math> ואז <math>\frac{\cos^2(1/x)}x\le\left|\frac{\cos(1/x)}x\right|</math>. נותר להוכיח כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos^2(1/x)}x\mathrm dx</math> מתבדר: * ''דרך א:'' נפעיל את מבחן ההשוואה הגבולי: <math>\lim_{x\to0^+}\frac{\cos^2(1/x)/x}{x^2}=\infty</math>. <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתבדר ולכן <math>\int\limits_0^1\frac{\cos^2(1/x)}x\mathrm dx</math> מתבדר. {{משל}} <span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11|תרגול שאחריו]]:}} * ''דרך ב:'' מתקיים <math>\int\limits_0^1\frac{\cos^2 \left(\frac1x\right)}x\mathrm dx=\frac12\underbrace{\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac2x\right)}x\mathrm dx}_I+\frac12\underbrace{\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}x}_{II}</math>. ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב <math>y=\frac2x</math> ואז <math>\mathrm dx=\frac{-2}{y^2}\mathrm dy</math> נקבל <math>\int\limits_\infty^2 \frac{\cos(y)}{2/y}\frac{-2\mathrm dy}{y^2}=\int\limits_2^\infty \frac{\cos(y)}y\mathrm dy</math> שמתכנס לפי דיריכלה. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)