לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 2 מדמח קיץ תשעז
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם=== '''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות <math>A_1,A_2,\ldots,A_{17}</math>. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום <math>A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17}</math>, וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: <math>\bigcap _{i=1} ^{17} A_i</math>. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה: '''הגדרה:''' יהיו <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות כאשר <math>I</math> הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך: <math>\bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} </math> <math>\bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} </math>. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים <math>I</math> לא ריקה. דוגמא: נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N} \; A_n:=[n,n+1]</math> אזי <math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = [ 1,\infty ) </math> <math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \phi </math> ====תרגיל==== נתון <math>A=\{\phi\}</math> ונתון <math>B=\{\phi,\{\phi\}\}</math>. סמן את הביטויים הנכונים: #<math>\phi\subseteq B</math> (כן) #<math>\phi\in \phi</math> (לא) #<math>\phi \subseteq \phi</math> (כן) #<math>A\subseteq B</math> (כן) #<math>A\in B</math> (כן) #<math>A\cup B = B</math> (כן) #<math>A\cap B=\phi</math> (לא) ====תרגיל==== הוכח כי <math>A\cap (B/C)=(A\cap B) / (A\cap C)</math> =====פתרון===== דרך גרירות לוגיות: <math>x\in A\cap (B/C)\iff (x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)]\iff [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math> בצד הימני הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה: <math>\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)] </math> וזה בדיוק מה שרצינו. דרך הכלה דו כיוונית: (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math> אזי <math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow</math> <math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math> <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math> (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math> אזי <math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math> <math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow </math> (כי אם <math>x\in C</math> אזי <math>x\in A\cap C</math> סתירה) <math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math> ====תרגיל==== נתונות <math>A=\{2m+1:m\in\mathbb{Z}\}</math>, ו <math>B=\{2m+3:m\in\mathbb{Z}\}</math>. הוכח שA=B. =====פתרון===== נוכיח הכלה דו כיוונית. נניח <math>x\in A</math> לכן קיים מספר שלם m כך ש <math>x=2m+1</math>. קל לראות שמתקיים <math>x=2(m-1)+3</math> אבל אז מכיוון ש m-1 הינו מספר שלם מתקיים <math>x\in B</math> כפי שרצינו. ההכלה בכיוון ההפוך דומה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)