לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===מסקנה - אלגוריתם למציאת מטריצה הופכית=== בהנתן מטריצה A הפיכה ניתן לעבור מ A ל- I ע"י פעולות שורה אלמנטריות. כלומר <math>E_{k}\cdots E_2 E_{1}\cdot A=I </math> כאשר <math>E_i</math> היא המטריצה האלמנטרית שמתאימה לפעולה האלמנטרית שביצענו במהלך הדירוג. מכאן רואים בקלות כי <math>A^{-1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1}</math> כיוון ש <math>E_{k}\cdots E_2 E_{1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1}\cdot I</math> אז ההופכית מתקבלת מהכפלת המטריצות האלמנטריות ב I (או באופן שיקול ביצוע הפעולות האלמנטריות על I) לכן אם נסתכל על המטריצה <math>(A|I)</math> ונדרג אותה נקבל לאחר הדירוג <math>(I|A^{-1})</math> פעולות הדירוג מתבצעות סימולטנית גם על A וגם על I. ברגע שהגענו מ A ל I אז במקביל הגענו מ I להופכית של A. דוגמא: נמצא את ההופכית של תהא <math>A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)</math> . נעשה פעולות דירוג על <math>(A|I)</math> <math> \left(\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_{2}-0.5R_{3}\rightarrow R_{2}}\\ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0.5\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{0.5R_{3}\rightarrow R_{3}}\\ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0.5\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0.5 \end{array}\right) </math> לפי התיאוריה ממקודם נקבל כי <math>A^{-1}= \left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0.5\\ 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{array}\right) </math> ====תוספת: הצגת מטריצה כמכפלה של אלמנטריות ==== נשים לב כי קיבלנו ש <math>A^{-1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1}</math> המטריצה ההופכית היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות. ומכאן שגם <math>A</math> ניתנת להצגה של מכפלה של מטריצות אלמנטריות כיוון ש <math>A=(A^{-1})^{-1}=(E_{k}\cdots E_2 E_{1})^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1} \cdots E_k^{-1}</math> כלומר <math>A</math> היא מכפלת בסדר הפוך של ההופכיות של האלמנטריות. נמשיך בדוגמא להמחיש את הענין. ראינו שהדירוג מ תהא <math>A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)</math> . ל <math>I</math> מתבצע ע"י 4 פעולות שורה. המטריצות האלמנטריות המתאימות הן 1. <math>E_1 = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) </math> (החלפת שורות 1 ו -2) 2. <math>E_2 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -0.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) </math> (החסרת חצי שורה 3 משורה 2) 3. <math>E_3 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) </math> (החסרת שורה 2 משורה 1) 4. <math>E_4 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0.5 \end{array}\right) </math> (הכפלת שורה 3 בחצי) במילים אחרות <math>E_4E_3E_2E_1A=I</math> ולכן *<math>A^{-1}=E_4E_3E_2E_1</math> *<math>A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}</math> ====הערות ==== 1. אם אחרי הדירוג של <math>A</math> לא קיבלנו <math>I</math> אזי <math>A</math> אינה הפיכה. הוכחה: נסמן ב <math>E</math> את מכפלת המטריצות האלמנטריות שמדרגות את <math>A</math> לצורה קנונית. ברור כי <math>E</math> הפיכה כמכפלה של מטריצות הפיכות. אם <math>A</math> הפיכה אזי גם <math>EA</math> הפיכה. אבל ב <math>EA</math> יש שורת אפסים כי <math>EA\not=I</math> סתירה לתרגיל מתחילת התרגול. (מסקנה: אחרי דירוג <math>A</math> או שגילינו שהיא לא הפיכה או שמצאנו את ההופכית. ולכן האלגוריתם שראינו מתבצע גם אם לא יודעים מראש ש <math>A</math> הפיכה) 2. בהנתן מטריצה ריבועית <math>A</math>, אזי <math>A</math> הפיכה '''אם ורק אם''' למערכת <math>Ax=b</math> קיים פתרון יחיד. פתרון: בכיוון הראשון הפתרון הוא <math>x=A^{-1}b</math>. בכיוון ההפוך, אם היא לא הפיכה אז במדורגת יש שורת אפסים ואז או שורת סתירה או משתנה חופשי.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)