לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-212 תשפא סמסטר ב
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==תשובות לשאלות מהתרגול== '''שאלה:''' האם קיימים חוגים לא איזומורפיים <math>R,S</math> כך שהחבורות החיבוריות שלהם איזומורפיות וגם המונואידים הכפליים שלהם (כלומר <math>R\setminus\{0\},S\setminus\{0\}</math> ביחס לפעולות הכפל המתאימות) איזומורפיים? '''תשובה:''' כן. אפשר למשל לקחת <math>R=F[x],S=F[x,y]</math>. רעיון ההוכחה: שני החוגים <math>R</math> ו-<math>S</math> שכתבנו הם תחומי פריקות יחידה. לכן המונואידים הכפליים שלהם איזומורפיים למכפלה ישרה של <math>\mathbb{N}\cup\{0\}</math>, לפי כמות האיברים האי-פריקים בכל אחד מהחוגים. אבל בשניהם יש אותה עוצמה של איברים אי-פריקים, לכן המונואידים הכפליים איזומורפיים. '''שאלה:''' האם מכפלה נקודתית של קוסטים שווה למכפלה של קוסטים כפי שהגדרנו אותה? כלומר, האם <math>(a+I)(b+I)=ab+I\overset{?}{=}\{(a+x)(b+y)\mid x,y\in I\}</math>? '''תשובה:''' לא! באופן כללי יש הכלה של המכפלה הנקודתית (אגף ימין) באגף שמאל, אך לא חייב להיות שוויון. ניקח למשל <math>R=\mathbb{Z}</math> ו-<math>I=4\mathbb{Z}</math>. אפשר לבדוק שבמקרה הזה <math>(2+4\mathbb{Z})^2=4\mathbb{Z}</math> לפי הגדרת הכפל שלנו, אך <math>0</math> אינו מופיע כאיבר במכפלה הנקודתית (כי אף קוסט אינו מכיל את <math>0</math>). '''שאלה:''' איך נראה חוג שבו כל תת-חוג הוא אידאל? (לחוגים שמקיימים את התכונה הזו קוראים ''חוגים המילטוניים'', ובאנגלית בקיצור H-rings). '''תשובה:''' נראה כי חוג כזה חייב להיות <math>\{0\}</math>, <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> או <math>\mathbb{Z}</math>. נניח שהחוג שלנו הוא לא חוג האפס, ונסתכל על תת-החוג <math>S</math> הנוצר על ידי <math>1</math>. זו בעצם התמונה של ההומומורפיזם היחיד <math>\mathbb{Z}\to R</math>. לפי ההנחה, <math>S</math> חייב להיות אידאל. אבל אז לכל <math>a\in R</math> מתקיים <math>a=a\cdot 1\in S</math>. לכן <math>R=S</math>. מפה אפשר לקבל את הטענה בקלות. השאלה הזו נהיית מעניינת יותר אם עוברים לחוגים בלי יחידה. שם אין לנו מיון מלא של כל החוגים ההמילטוניים ללא יחידה, אבל יש עבודות בנושא. '''שאלה:''' מדוע עבור חוג חילופי <math>R</math>, איבר <math>c\in R</math> ופולינום <math>f(x)\in R[x]</math>, מתקיים ש-<math>f(c)=0</math> אם ורק אם <math>(x-c)\mid f(x)</math>? '''תשובה:''' כדי להוכיח את זה, ניעזר בטענה שמעל כל חוג חילופי <math>R</math> ניתן לחלק עם שארית אם הפולינום שמחלקים בו הוא מתוקן. השתמשנו בטענה הזו מספר פעמים, אתם יכולים למצוא הוכחה שלה [https://math.stackexchange.com/questions/1811541/understanding-divison-by-monic-polynomial-in-rx-where-r-is-an-arbitrary-ri בתשובה הראשונה כאן]. אם <math>(x-c)\mid f(x)</math>, ברור ש-<math>f(c)=0</math>. בכיוון השני, נניח <math>f(c)=0</math>, ונחלק את <math>f(x)</math> בפולינום המתוקן <math>x-c</math> עם שארית: <math>f(x)=q(x)\cdot (x-c)+r</math>, כאשר <math>r</math> חייב להיות קבוע. נציב <math>x=c</math> במשוואה ונקבל <math>0=f(c)=q(c)\cdot 0+r=r</math>. לכן <math>f(x)=q(x)\cdot (x-c)</math>, כלומר <math>(x-c)\mid f(x)</math>. שימו לב שלמרות שהטענה הזו נכונה, זה לא אומר שהפירוק יחיד. למשל, בחוג <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> יש לפולינום <math>x^2+x</math> ארבעה שורשים שונים: <math>0,2,3,5</math>. ואכן, מעל <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> אפשר לכתוב את הפולינום כך: <math>x^2+x=x(x-5)=(x-2)(x-3)</math> (כי עובדים מודולו <math>6</math>). אלו שני פירוקים לא שקולים של <math>x^2+x</math> למכפלה של גורמים לינאריים, וזו לא בעיה כי <math>\left(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\right)[x]</math> הוא לא תחום פריקות יחידה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)