לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==מציאת הופכי וחילוק== עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי. ש: איך נמצא את ההופכי? ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>. ====תרגיל==== מצא את ההופכי של: 1. <math>7-4i</math> 2. <math>\sqrt{2}i</math> =====פתרון===== 1. לפי המסקנה נקבל: <math>(7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65} i</math>. 2. <math>(\sqrt{2}i)^{-1}=\frac{\overline{\sqrt{2}i}}{|\sqrt{2}i|}=\frac{-\sqrt{2}i}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2} i</math> ====תרגיל==== הצג את הביטוי הבא בצורה <math>z=a+bi</math> וציין מהם <math>Re(z),Im(z),\overline{z},|z|</math>. הביטוי הינו: <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math> =====פתרון===== שימו לב: אם במכנה יש מספר ממשי אז זה יהיה קל מאד: כי אז אפשר להפריד את המונה לחלק ממשי וחלק מדומה, וכל אחד לחלק בנפרד בממשי שבמכנה. אז מה נעשה כדי שזה יקרה? אם נכפול את המכנה בצמוד שלו אז נקבל מספר חדש שבו המכנה ממשי. כדי לא להרוס את המספר שלנו נכפול גם את המונה בצמוד של המכנה! כלומר, נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה: <math>\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}</math>. נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי <math>\frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1}</math> וכעת רשמנו <math>(5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}]</math> לפיכך נקבל: <math>z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i</math>. <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}}</math>. <math>Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13}</math>. <math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>. ====תרגיל==== א. פתרו את המשוואה <math>z+\overline{z}=z+2i</math>. ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z+\overline{z}=Re(z)+2i</math> אין פתרון. =====פתרון===== נסמן <math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל: <math>2a=a</math> <math>0=b+2</math>. לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>. ב. נשים לב שאגף שמאל הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה באגף ימין יש חלק מדומה (שוונה מאפס) <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון. ====תרגיל==== יהיו <math>z,w</math> מספרים מרוכיבם המקיימים: <math>|z|=|w|=1,z\cdot w\neq 1</math>. הוכיחו שהמספר <math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}</math> הינו מדומה טהור (כלומר, החלק הממשי שלו הוא 0). =====פתרון===== נכפול בצמוד למכנה: <math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}=\frac{(z+w)(\overline{1-zw})}{(1-zw)(\overline{1-zw})}=\frac{(z+w)(1-\overline{z}\overline{w})}{|1-zw|^2}=\frac{z+w-z\overline{z}\overline{w}-\overline{z}w\overline{w}}{|1-zw|^2}</math> כעת נשים לב שמהנתון על הערכים המוחלטים נקבל: <math>z\overline{z}\overline{w}=\overline{w},\overline{z}w\overline{w}=\overline{z}</math>. לכן במונה כתוב בעצם: <math>z-\overline{z}+w-\overline{w}=-2\cdot Im(z)i-2\cdot Im(w)i</math> שזהו מספר מדומה טהור, והוא נשאר כזה גם אחרי חלוקתו במכנה שהוא ממשי. מש"ל.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)