לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - תרגול/5.6.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===פתרון=== # נעזר במבחן ה-M של ויירשראס: <math>\frac1{n^4+x^2}\le\frac1{n^4}</math> ו-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}</math> מתכנס, לכן הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4+x^2}</math> מתכנס במ"ש על <math>\mathbb R</math>.<br/>''טענת עזר:'' נוכיח שהטווח של <math>\varphi</math> הוא קטע. ראשית נוכיח שלכל קטע <math>[a,b]</math>, <math>\mbox{Im}(\varphi|_{[a,b]})</math> הוא קטע. ממשפט ויירשראס השני, קיימת נקודה <math>x_M\in[a,b]</math> שבה <math>\varphi|_{[a,b]}</math> מקסימלית ו-<math>x_m\in[a,b]</math> שבה היא מינימלית, ונניח בלי הגבלת הכלליות ש-<math>x_m\le x_M</math>. אזי <math>\varphi|_{[a,b]}</math> רציפה ב-<math>[x_m,x_M]</math> ולכן, מממשפט ערך הביניים, לכל <math>y\in[\varphi(x_m),\varphi(x_M)]</math> קיים <math>c\in[x_m,x_M]</math> כך ש-<math>\varphi(c)=y</math>. לפיכך הוכחנו ש-<math>\mbox{Im}(\varphi|_{[a,b]})\supseteq[\varphi(x_m),\varphi(x_M)]</math>. מאידך, <math>\varphi(x_m)</math> הוא הערך המינימלי של <math>\varphi|_{[a,b]}</math> ו-<math>\varphi(x_M)</math> הוא הערך המקסימלי, לכן ברור ש-<math>\mbox{Im}(\varphi|_{[a,b]})\subseteq[\varphi(x_m),\varphi(x_M)]</math>. מכאן ש-<math>\mbox{Im}(\varphi|_{[a,b]})=[\varphi(x_m),\varphi(x_M)]</math>, כלומר הטווח הוא קטע, כדרוש. הטענה נכונה לכל קטע <math>[a,b]</math> ולכן נשאיף <math>a\to-\infty\ \and\ b\to\infty</math> ונקבל שהיא נכונה ל-<math>\mathbb R</math>.<br/>לפיכך מתקיימים התנאים לשימוש במבחן ה-M של ויירשראס, ומכיוון שהטור של f מתכנסת במ"ש על <math>\mathbb R</math> הוא בפרט מתכנס במ"ש על תת הקטע <math>\mbox{Im}(\varphi)\subseteq\mathbb R</math>. מכאן ש-<math>f\circ\varphi</math> מתכנס במ"ש. {{משל}} # הטור מתכנס במ"ש ולכן ניתן לעשות אינטגרציה איבר-איבר: {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^\infty f&=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}{n^4+x^2}\\&=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}{1+\left(\frac x{n^2}\right)^2}\\&=\sum_{n=1}^\infty\left[\frac1{n^2}\arctan\left(\frac xn\right)\right]_{x=0}^\infty\\&=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}\frac\pi2\\&=\frac{\pi^3}{12}\end{align}</math>}}{{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)