לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
שיחה:83-116 תשעד סמסטר א
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
הוספת נושא
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
הוספת נושא
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== דף 3-שאלה 4 == '''שלום לכולם, '''רבים ממכם ניגשו אלי עם שאלה זאת ע"מ שאבדוק אם פיתרונכם תקין. '''לאור כך ובשל העובדה שמבנה התרגיל שונה מקודמיו אבקש מכם בכל לשון של בקשה להעמיק בקריאת הפיתרון המצורף ולהעלות שאלות אם משהו לא ברור. '''עדי תרגיל: יהי <math>E</math> יח"ש על <math>A</math> ויהי <math>F</math> יח"ש על <math>B</math>. תהי <math>G=\{((a_1,b_1),(a_2,b_2)):(a_1,a_2)\in E,\ (b_1,b_2)\in F\}</math>. הוכח כי <math>G</math> יח"ש על <math>A\times B</math>. פתרון: ראשית, בואו נבין היטב את הגדרת <math>G</math>. יחס זה בנוי מ'''זוגות סדורים של זוגות סדורים''' (לא <math>(a_1,b_1),(a_2,b_2)</math> שזו סתם רשימה של שני איברים, לא <math>(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)</math> שאין לי מושג מה זה, ועוד כל מיני צורות כאלו ואחרות שהופיעו בפיתרונותיכם), כך ש'''הקואורדינטות הראשונות''' מתייחסות ב-E ו'''הקואורדינטות השניות''' מתייחסות ב-F (ולא הזוג הראשון ב-E והזוג השני ב-F). '''יש להוכיח ש-G יחס על <math>A\times B</math>: כלומר, נתבונן על שתי הקואורדינטות באייברי G, בכל אחת מהן יושב זוג סדור אשר יש להראות שהוא מ-<math>A\times B</math>. ע"פ הגדרה <math>(a_1,a_2)\in E,\ (b_1,b_2)\in F\ \Rightarrow a_1\in A \and b_1\in B \and a_2\in A \and b_2\in B</math>, היות וידוע כי E פועלת על A ו-F פועלת על B. ע"פ הגדרת מכפלה קרטזית זה אומר ש- <math>(a_1,b_1)\in A\times B \and (a_2,b_2)\in A\times B</math>, וע"פ הגדרת יחס זה אומר ש-G היא תת קבוצה של <math>(A\times B)^2</math> ולכן יחס על <math>A\times B</math>. כעת נותר להכיח שיחס זה הוא שקילות, כלומר: '''רפלקסיביות:''' נרצה להוכיח שכל איבר מתייחס לעצמו '''ב-G'''. בדיקת רפלקסיביות מתחילה מבדיקת '''כל''' איבר בקבוצה '''עליה פועל היחס שמוכיחים'''. אנחנו מוכיחים על G אשר כאמור פועלת על <math>A\times B</math>, ולכן: <math>\forall (a,b)\in A\times B</math> (מה ידוע לנו '''לכל''' איבר כזה?) <math>\Rightarrow a\in A \and b\in B</math> (מה ידוע לנו '''לכל''' איבר ב-A ולכל איבר ב-B? היות ש-E ו-F יח"ש ידוע לנו שכל איבר ב-A מתייחס לעצמו ב-E וכל איבר ב-B מתייחס לעצמו ב-F) <math>\Rightarrow (a,a)\in E \and (b,b)\in F</math> לפי הגדרת G, עבור איבר ב-E ואיבר ב-F, זה בדיוק אומר שהקואורדינטות הראשונות מתייחסות לקואורדינטות השניות ב-G. כלומר: <math>((a,b),(a,b))\in G</math>. סה"כ קיבלנו <math>\forall (a,b)\in A\times B\ \ ((a,b),(a,b))\in G</math> ולכן G רפלקסיבי. '''סימטריות:''' נרצה להוכיח שאם איבר מתייחס לאחר אז האחר מתייחס לאיבר '''ב-G'''. בדיקת סימטריות מתחילה מאיבר שמתייחס לאחר '''ביחס שמוכיחים'''. אנחנו מוכיחים על G אשר כאמור פועלת על <math>A\times B</math>, ולכן: <math>((a_1,b_1),(a_2,b_2))\in G</math> (מה זה אומר לנו ע"פ הגדרה?) <math>\Rightarrow (a_1,a_2)\in E \and (b_1,b_2)\in F</math> היות ש-E ו-F יח"ש זה אומר <math>(a_2,a_1)\in E \and (b_2,b_1)\in F</math> לפי הגדרת G, עבור איבר ב-E ואיבר ב-F, זה בדיוק אומר שהקואורדינטות הראשונות מתייחסות לקואורדינטות השניות ב-G. כלומר: <math>((a_2,b_2),(a_1,b_1))\in G</math> סה"כ קיבלנו <math>((a_1,b_1),(a_2,b_2))\in G\Rightarrow ((a_2,b_2),(a_1,b_1))\in G</math> ולכן G סימטרי. '''טרנזיטיביות:''' נרצה להוכיח שאם איבר1 מתייחס לאיבר2 שמתייחס לאיבר3 אז איבר1 מתייחס לאיבר3 '''ב-G'''. בדיקת טרנזיטיביות מתחילה איבר1 מתייחס לאיבר2 ואיבר2 שמתייחס לאיבר3 '''ביחס שמוכיחים'''. אנחנו מוכיחים על G אשר כאמור פועלת על <math>A\times B</math>, ולכן: <math>((a_1,b_1),(a_2,b_2))\in G\and ((a_2,b_2),(a_3,b_3))\in G</math> (מה זה אומר לנו ע"פ הגדרה?) <math>\Rightarrow \underline{(a_1,a_2)\in E} \and \underline{\underline{(b_1,b_2)\in F}}\and \underline{(a_2,a_3)\in E} \and \underline{\underline{(b_2,b_3)\in F}}</math> היות ש-E ו-F יח"ש זה אומר <math>(a_1,a_3)\in E \and (b_1,b_3)\in F</math> לפי הגדרת G, עבור איבר ב-E ואיבר ב-F, זה בדיוק אומר שהקואורדינטות הראשונות מתייחסות לקואורדינטות השניות ב-G. כלומר: <math>((a_1,b_1),(a_3,b_3))\in G</math> סה"כ קיבלנו <math>((a_1,b_1),(a_2,b_2))\in G\and ((a_2,b_2),(a_3,b_3))\in G\Rightarrow ((a_1,b_1),(a_3,b_3))\in G</math> ולכן G טרנזיטיבי.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)