לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===דוגמאות === ====דוגמא 1==== <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> <math>\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\}</math> בת"ל כי <math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)=0</math> פירושו <math>\left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)</math> שזה גורר <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}=0</math>. ====דוגמא 2==== 2. (דוגמא מייצגת) <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>. האם הקבוצה <math>\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1\\ -3\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\} </math> בת"ל? נתבונן ב <math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c} -1\\ -3\\ 0 \end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right)=0</math> ונמיר אותו להצגה מטריצית <math>\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)</math> כעת השאלה שקולה האם יש פתרון לא טריאלי למערכת. נדרג ונבדוק <math>\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 2 & -3 & -1\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)</math> לכל הצבה <math>z=t</math> נקבל <math> \left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} -t\\ -t\\ t \end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c} -1\\ -1\\ 1 \end{array}\right) </math> פתרון לא טרוויאלי. כלומר הוקטורים הנ"ל ת"ל. אם רוצים לראות את זה מפורש ניקח למשל <math>t=1</math> ונקבל צ"ל לא טריוואלי שמתאפס <math>-1\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c} -1\\ -3\\ 0 \end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right)=0</math> ====דוגמא 3==== יהי <math>0\not=v\in V</math> אזי <math>\{v\}</math> קבוצה בת"ל. לחילופין יהי <math>S=\{v_{1}\dots,v_{n}\}</math> כך ש <math>0_{V}\in S</math> אזי <math>S</math> ת"ל (ניקח צ"ל שכל המקדמים שווים אפס פרט למקדם של וקטור האפס שניקח להיות שווה 1). ====דוגמא 4==== <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים עד דרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> תהא <math>S=\{2+6x,x^{2},1+2x+2x^{2}\}</math>. האם <math>S</math> בת"ל? פתרון: צריך לבדוק האם <math>\alpha_{1}(2+6x)+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}(1+2x+2x^{2})=0</math> גורר שזה הצ"ל הטריאלי. לפי השוואת מקדמים נקבל כי : <math>2\alpha_{1}+\alpha_{3}=0,\,6\alpha_{1}+2\alpha_{3}=0,\,\alpha_{2}+2\alpha_{3}=0</math> ובצורה מטריצית <math>\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1\\ 6 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)</math> נבדוק אם למערכת יש פתרון לא טריאלי. <math>\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)</math> כלומר התשובה היא שלמערכת אין פתרון לא טריאלי. כלומר <math>S</math> בת"ל ====דוגמא 5==== '''תרגיל.''' האם הפולינומים <math>x^3-x+1,2x^2+x-1,x^3-1</math> תלויים לינארית? '''פתרון:''' <math>a(x^3-x+1)+b(2x^2+x-1)+c(x^3-1)=0</math> אם"ם <math>(a+c)x^3+2bx^2+(b-a)x+(a-b-c)=0</math> אם"ם <math>(a=-c)\and(2b=0)\and(b=a)\and(a=b+c)</math> אם"ם <math>a=b=c=0</math> אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שמתאפס הינו הטריוויאלי ולכן הפולינומים בת"ל. ====דוגמא 6==== הקבוצה <math>\{1,x,x^2,x^3,\dots \}\subseteq \mathbb{F}[x]</math> היא בת"ל
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)