לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===תרגילים=== ==== תרגיל ==== תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. ראינו כי <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math>. במקרה שהשדה הוא ממשי נקבל תוצאה חזקה יותר. תהא <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math>. נסמן <math>B_R</math> בסיס למרחב השורות ו <math>B_N</math> בסיס למרחב האפס אזי <math>B_R\cup B_N</math> בסיס ל <math>\mathbb{R}^n</math> (שימו לב שזה אכן תוצאה יותר חזקה)) באופן שקול: הוכח כי לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math> מתקיים <math>\mathbb{R}^n=R(A)\oplus N(A)</math> '''פתרון.''' מכיוון שהרגע ראינו כי סכום המימדים מקיים <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math> לפי משפט המימדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הינו אפס. יהא <math>v\in R(A)\cap N(A)</math> אזי <math>\exists w : A^tw=v, Av=0 </math> ולכן <math>AA^tw=0</math> נכפיל ב <math>w^t</math> משמאל ונקבל כי <math>0=w^tAA^tw=(A^tw)^t(A^tw)=v^tv</math> זה גורר כי <math>v=0</math> (זיכרו כי במקרה הממשי <math>v^tv=\sum_{i=1}^nv_i^2</math> כעת לפי משפט המימדים מתקיים <math>\dim (R(A)+N(A))=\dim R(A)+\dim N(A) - \dim(R(A)\cap N(A)) = \dim R(A)+\dim N(A) =n</math> כיוון ש <math>R(A)+N(A)\subseteq \mathbb{R}^n</math> מאותו מימד נקבל כי הם שווים. '''הערה:''' כיוון שהמשפט נכון לכל מטריצה, ניתן ליישמו גם על השיחלוף ולקבל כי <math>\mathbb{R}^m=C(A)\oplus N(A^t)</math> לדוגמא עבור <math>A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{array}\right)</math> מצאנו כי <math>B_{R}=\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\},\,B_{C}=\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 3 \end{array}\right)\}, \\ B_{N}=\{\left(\begin{array}{c} -3\\ 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2\\ -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\}\,,B_{N(A^{t})}=\{\left(\begin{array}{c} -1\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\}</math> לפי המשפט <math>\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -3\\ 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2\\ -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\}</math> בסיס ל <math>\mathbb{R}^{4}</math> ו <math>\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\}</math> בסיס ל <math>\mathbb{R}^{3}</math> ====שאלה==== מתי כדאי לשים וקטורים בעמודות מטריצה ולדרג, ומתי כדאי לשים אותם בשורות מטריצה ולדרג? =====תשובה===== ראשית, הכוונה כמובן שלא שמים את הוקטורים בשורות/עמודות, אלא את הקואורדינטות, אבל נזרום עם זה. כעת, לשאלה עצמה: השאלה היא תמיד מה רוצים לבדוק. 1. אם רוצים לבדוק אם יש תלות בין הוקטורים - אז אמליץ לשים בעמודות. כי אז פתרון לא טריוויאלי למערכת הנוצרת נותן לנות את הצ"ל השווה 0. לכן אם יש לנו מספר וקטורים כמימד המרחב ואנחנו רוצים לבדוק אם הם בת"ל (ובגלל זה בסיס) כדאי לשים בעמודות. 2. אם נתונים לנו מספר וקטורים שפורשים מרחב כלשהו, ואנחנו מחפשים מתוכם בסיס (ורוצים לזרוק את הוקטורים התלויים) - אז אמליץ לשים בעמודות. כי אז נוכל לקחת את הוקטוריים המקוריים המתאימים לעמודות ציר בצורה המדורגת של המטריצה שבנינו, והם מהווים בסיס. 3. אם נתונים לנו מס' וקטורים בת"ל ואנחנו רוצים להוסיף עליהם כדי להגיע לבסיס של מרחב כלשהו - אז אמליץ לשים בעמודות, בתוספת לעמודות המהוות בסיס של המרחב המבוקש. ואז מכיון שעמודות אלה בת"ל, נקבל שיהיה איבר מוביל בעמודות המתאימות במדורגת, וגם נדע אילו וקטורים להוסיף - המתאימים לעמודות עם מוביל במדורגת. ==== תרגיל ==== השלימו את קבוצת הוקטורים (נתון שהם בת"ל) הבאה <math>\left\{ \left(\begin{array}{c} 1+i\\ 1\\ 3\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 1-i\\ 2+i\\ 5 \end{array}\right)\right\}</math> לבסיס של <math>\mathbb{C}^{4}</math> ==== תרגיל==== הוכיחו (בצורה פשוטה): כל מטריצה לא ריבועית אינה הפיכה. ==== תרגיל ==== תהא <math>A\in\mathbb{R}^{n\times n}</math> נגדיר <math>B=\left(\begin{array}{c} A\\ A \end{array}\right) ו C=\left(\begin{array}{c} A\\ A^{t} \end{array}\right)</math> . הוכיחו/הפריכו: 1.לכל <math>A</math> מתקיים <math>\text{rank} A=\text{rank} B</math> 2. לכל <math>A</math> מתקיים <math>\text{rank} A=\text{rank} C</math> 3. קיימת <math>A</math> שעבור <math>\text{rank} C=2\text{rank} A</math> 4. קיימת <math>A</math> שעבור <math>\text{rank}C>2\text{rank} A</math> ==== תרגיל ==== תהא A ריבועית מסדר n כך ש <math>A^2=0</math> הוכיחו כי <math>rank(A)\leq n/2</math> פתרון: מהנתון נקבל כי כל עמודה של A נמצאת במרחב האפס של A ולכן מרחב העמודות מוכל ב מרחב האפס <math>2rank(A)\leq \dim N(A)+\dim C(A)=n </math>. נחלק ב 2 ונקבל את המבוקש. ==== תרגיל ==== תרגיל. יהיו <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש <math>rank(A)+rank(B)>n</math>. הוכח <math>AB\not=0</math> הוכחה: נניח בשלילה כי <math>AB=0</math> כלומר לכל <math>i</math> מתקיים <math>C_i(AB)=AC_{i}(B)=0</math> ומכאן ש <math>\forall i C_i(B)\in N(A)</math> ולכן <math>C(B)\subseteq N(A)</math> <math> rank(B)=dim(C(B))\leq dim(N(A)) \Leftarrow </math> ואז <math> rank(B)+rank(A)\leq dim(N(A))+rank(A)=n \Leftarrow </math> סתירה לנתון. ==== תרגיל ==== תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n} , B\in \mathbb{F}^{n\times p}</math>. הוכח שאם עמודות <math>AB</math> בת"ל אז גם עמודות <math>B</math> בת"ל הוכחה: מהנתון <math>rank (AB)= p</math> ואז <math>p = rank (AB)\leq rank B \leq p</math> ומכאן ש <math> rankB=p</math> כלומר עמודות B בת"ל ==== תרגיל ==== תהא <math> A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & * \\ 1 & * & 1 \\ * & 1 & * \\ \end{pmatrix} </math> נניח כי למערכת <math>Ax=0</math> יש 2 פתרונות בת"ל. מצא את <math>A</math> פתרון: מהנתון נקבל כי <math>\dim N(A)\geq 2</math> כיוון ש <math>A\neq 0</math> נקבל כי <math>\dim N(A)= 2</math> לפי משפט הדרגה נקבל כי <math>rank(A)=1</math> כלומר כל העמודות ת"ל בראשונה (כי אין עמודת אפסים). לכן העמודה השניה היא כפולה של העמודה הראשנה וכן העמודה השלישית היא כפולה של העמודה הראשונה. מצורת המטריצה נקבל כי בעצם העמודה השניה שווה לעמודה הראשונה וכן השלישית ולכן <math> A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} </math> ==== תרגיל ==== יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצות. הוכיחו כי <math>rank(A+B)\leq rank(A)+rank(B)</math> פתרון: מתקיים כי <math>C(A+B)\subseteq C(A)+C(B)</math> ולפי משפט המימדים <math> dim[C(A)+C(B)]\leq dimC(A)+ dimC(B)</math> ==== תרגיל ==== יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצות. הוכיחו כי <math>rank(A-B) \geq |rank(A)-rank(B)|</math> פתרון: מצד אחד <math>rank(A-B) \geq rank(A)-rank(B)</math> כי לפי תרגיל קודם <math>rank(A)=rank(A-B+B)\leq rank(A-B)+rank(B)</math> ונעביר אגף מצד שני <math>rank(A-B) \geq rank(B)-rank(A)</math> כי לפי תרגיל קודם <math>rank(B)=rank(B-A+A)\leq rank(B-A)+rank(A)</math> ונעביר אגף + נציין (כדאי להוכיח) כי <math>rank(M)=rank(-M)</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)