לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-165 תשעב סמסטר ב/תקצירי הרצאות
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== הרצאה אחת-עשרה === כדי לעבור ממשתנים מקריים בדידים לרציפים, עלינו להכליל את מושג מרחב ההסתברות. בעבר טיפלנו במרחבים סופיים או בני-מניה, ואז הגדרנו את ההסתברות של כל נקודה, וממנה יכולנו לחשב את ההסתברות של כל תת-קבוצה. במעבר למקרה הכללי מתברר שהגישה הזו מוכרחה להכשל: אי אפשר לסכם מספר שאינו בן-מניה של ערכים (ולקוות לתוצאה סופית), וגם אי אפשר להגדיר הסתברות בבת-אחת על כל תת-הקבוצות (אפילו של קטע היחידה). את הפתרון האקסיומטי מצא קולמוגורוב. ראשית, '''סיגמא-אלגברה''' על מרחב <math>\ \Omega</math> מוגדרת כמשפחה של תת-קבוצות, הכוללת את המרחב כולו כאיבר, וסגורה למשלים וללקיחת איחוד בן-מניה. (סגירות לאיחוד סופי אינה מספיקה, וסגירות לאיחוד כלשהו - לאו דווקא בן-מניה - היא דרישה חזקה מדי המקלקלת את כל הדוגמאות המעניינות). '''מרחב הסתברות''' הוא שלשה סדורה, שבה הרכיב הראשון הוא המרחב, השני הוא סיגמא-אלגברה (אבריה נקראים "מאורעות"), והשלישי הוא פונקציית הסתברות, שהיא פונקציה המתאימה מספר חיובי לכל מאורע, ומקיימת שני תנאים: ההסתברות של המרחב כולו היא 1, ואם <math>\ A_1,\dots</math> סדרת מאורעות זרים, אז <math>\ P(\cup A_n) = \sum P(A_n)</math>. החסרון בגישה זו הוא שכאשר הסיגמא-אלגברה אינה כוללת את כל תת-הקבוצות (וכך יהיה בדרך כלל), יהיו קבוצות שלא ניתן לדבר על ההסתברות שלהן. מתברר שהשד הזה אינו נורא כל-כך. המרחב החשוב ביותר מבחינתנו הוא הישר הממשי, ולכן אנו ניגשים להגדיר סיגמא-אלגברה מסויימת עליו, הנקראת "הסיגמא-אלגברה של בורל". זוהי הסיגמא-אלגברה הקטנה ביותר הכוללת את כל הקרניים <math>\ (-\infty,a]</math>. מתברר שהיא כוללת את הקרניים מכל הסוגים, את הקטעים הפתוחים מכל הסוגים, נקודות, סדרות של נקודות, קבוצות כמו <math>\ \cdots (-3,-2) \cup (-1,0) \cup (1,2) \cup \cdots</math>, ועוד ועוד. עם הסיגמא-אלגברה הזו, נוכל לחשב את ההסתברות של מאורעות כמו <math>\ X\leq a</math> (ולכן גם מאורעות כמו <math>\ a<X<b</math> וכדומה) לכל משתנה מקרי X.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)