לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מכפלה פנימית מושרית
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה המרוכב== יהי <math>V</math> מרחב נורמי מעל שדה המרוכבים, עם נורמה המקיימת את כלל המקבילית. נגדיר את המכפלה <math>\langle x,y\rangle=\frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} + i\cdot \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-iy||^2}{2}</math>. נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית, וכי הנורמה של המרחב מושרית מכפלה פנימית זו. שוב נעזר בפיתוח שעשינו בהוכחה מעל הממשיים, ונקבל כי <math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math> כאשר השתמשנו בעובדה כי <math>||y||^2 = ||iy||^2</math>. ===אדטיביות=== עלינו להוכיח כי <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math> נוכיח כי החלקים הממשיים של שני צידי המשוואה שווים וכך גם החלקים המדומים ומכאן המשוואה מתקיימת. כלומר צריך להוכיח כי <math>\frac{||x+y+z||^2-||x+y-z||^2}{4} = \frac{||x+z||^2-||x-z||^2}{4} + \frac{||y+z||^2 -||y-z||^2}{4}</math> וכן <math>\frac{||x+y+iz||^2-||x+y-iz||^2}{4} = \frac{||x+iz||^2-||x-iz||^2}{4} + \frac{||y+iz||^2 -||y-iz||^2}{4}</math> אבל את המשוואה הראשונה הוכחנו בחלק הממשי, ואותה הוכחה בדיוק תקיפה כאן (כי לא היה בה שימוש בסקלרים, רק בכלל המקבילית). ע"י הצבת <math>iz</math> במקום <math>z</math> נקבל גם את המשוואה השנייה. ===כפל בסקלר=== עלינו להוכיח כי: <math>\langle (a+bi)x,y\rangle = (a+bi)\langle x,y\rangle</math> מהאדטיביות אנו יודעים כי <math>\langle (a+bi)x,y\rangle = \langle ax,y\rangle+\langle bix,y\rangle</math> בעזרת הוכחה זהה למקרה הממשי, ניתן להסיק כי לכל <math>c\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>\langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle</math>. ולכן נקבל כי <math>\langle ax,y\rangle = a\langle x,y\rangle</math> וכן <math>\langle bix,y\rangle = b\langle ix,y\rangle</math> לכן כל שנותר לנו להוכיח הוא כי <math>\langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle</math> ואז נקבל כי <math>\langle (a+bi)x,y\rangle = a\langle x,y\rangle+bi\langle x,y\rangle=(a+bi)\langle x,y\rangle</math> נציב בפיתוח של המכפלה הפנימית <math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math> <math>\langle ix,y\rangle = \frac{||ix+y||^2 -||ix-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2}{4}</math> <math>i\cdot \langle x,y\rangle = i\cdot \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} - \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math> כאמור אנחנו רוצים להוכיח כי <math>\langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle</math> לכן עלינו להוכיח את שתי המשוואות הבאות (השוואה בין החלקים הממשיים, והשוואה בין החלקים המדומים): <math>\frac{||ix+y||^2 -||ix-y||^2 }{4} = - \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math> <math>\frac{||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2}{4} = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4}</math> נכפול כמובן ב4 את המשוואות, ונתחיל לטפל במשוואה הראשונה: <math>||ix+y||^2 -||ix-y||^2 = ||i(x-iy)||^2 -||i(x+iy)||^2 = </math> <math>=(|i|\cdot ||x-iy||)^2 - (|i|\cdot ||x+iy||)^2 =-(||x+iy||^2 -||x-iy||^2)</math> בדיוק כפי שהיינו צריכים להוכיח. באופן דומה נטפל במשוואה השנייה <math>||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2 = ||i(x+y)||^2 - ||i(x-y)||^2 =||x+y||^2 -||x-y||^2</math> בדיוק כפי שהיינו צריכים להוכיח. ===הרמיטיות=== עלינו להוכיח כי <math>\langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}</math> ראשית נציב בפיתוח של המכפלה הפנימית: <math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math> <math>\langle y,x\rangle = \frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} + i\cdot \frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4}</math> <math>\overline{\langle y,x\rangle} = \frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} - i\cdot \frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4}</math> כלומר עלינו להוכיח את שתי המשוואות הבאות (השוואה בין החלקים הממשיים, והשוואה בין החלקים המדומים): <math>\frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4}=\frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} </math> <math>\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4} = -\frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4}</math> נתחיל מהמשוואה הראשונה: <math>||x-y||^2 = ||-(y-x)||^2 =(|-1|\cdot ||y-x||)^2 = ||y-x||^2</math> ולכן המשוואה הראשונה מתקיימת. כעת נשווה את המונים במשוואה השנייה: <math>||x+iy||^2 - ||x-iy||^2 = ||i(-ix+y)||^2 - ||-i(ix+y)||^2 = </math> <math>=(|i|\cdot||y-ix||)^2 -(|-i|\cdot ||y+ix||)^2= -(||y+ix||^2 - ||y-ix||^2)</math> כפי שהיינו צריכים להוכיח. ===אי שליליות=== נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו <math>\langle x,x\rangle = \frac{||x+x||^2 -||x-x||^2}{4} + i\cdot \frac{||x+ix||^2 -||x-ix||^2}{4}</math> נפתח את החלק הממשי: <math>\frac{||x+x||^2 -||x-x||^2}{4} = \frac{||2x||^2 }{4} = \frac{4||x||^2}{4}=||x||^2</math> לגבי החלק המדומה, נשים לב כי <math>||x+ix||^2 = ||(1+i)x||^2 = |1+i|^2 ||x||^2 = 2||x||^2</math> וכן <math>||x-ix||^2 = ||(1-i)x||^2 = |1-i|^2 ||x||^2 = 2||x||^2</math> וסה"כ החלק המדומה מתאפס <math>\frac{||x+ix||^2 -||x-ix||^2}{4}=0</math> (הערה: אפשר היה גם להסיק שהחלק המדומה מתאפס בזכות ההרמיטיות.) סה"כ קיבלנו כי <math>\langle x,x\rangle = ||x||^2 </math> ומתכונות הנורמה אנו יודעים כי ביטוי זה אינו שלילי, ומתאפס אם ורק אם <math>x=0</math>. לבסוף, נשים לב כי גילינו כי <math>||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>, כלומר הנורמה של המרחב מושרית מהמכפלה הפנימית שיצרנו.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)