לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 8
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===תרגיל=== הוכח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס (גם אם המרחב אינו מימד סופי) ====הוכחה==== יהיה<math> V </math> מרחב וקטורי. ונרצה להוכיח שקיים בסיס למרחב ===== לפי הלמה של צורן ===== נביט באוסף הקבוצות הבלתי תלויות שלו <math>\{B\subseteq V| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. (האוסף לא ריק כי קבוצה ריקה היא קבוצה בת"ל) תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות בת"ל. ט: <math>B:=\bigcup_{i\in I}B_i</math> הינו חסם מלעיל של השרשרת (כלומר צ"ל ש <math>B</math> בת"ל ה: יהיה <math>\alpha_1 v_1 +\cdots +\alpha_n v_n =0</math> צ"ל של וקטורים מ B שמתאפס אזי כל וקטור שייך לאיזה שהוא <math>B_j</math>. כיוון שמדובר בשרשרת אזי כל הוקטורים נמצאים באותה קבוצה. כלומר <math>\exists k\in I \forall i : v_i \in B_k</math> כיוון ש <math>B_k</math> קבוצה בת"ל נקבל שכל המקדמים שווים לאפס. לכן יש קבוצה <math>B</math> בת"ל מקסימלית ט: <math>B</math> פורשת (ולכן מהווה בסיס). ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. סתירה למקס' של B. ===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף ===== נגדיר <math>\mathcal{O}</math> אוסף הקבוצות הבלתי תלויות שמוכלות במרחב. כלומר <math>\{B\subseteq V| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> סדורה ע"י הכלה מתקיים כי <math>\{\emptyset\}</math> היא שרשרת (קבוצה ריקה היא בת"ל) ולכן היא מוכל בשרשרת מקסימאלית C. נגדיר <math>B=\cup_{B'\in C}B'</math> ט: <math>B</math> בת"ל ה: יהיה <math>\alpha_1 v_1 +\cdots +\alpha_n v_n =0</math> צ"ל של וקטורים מ B שמתאפס אזי כל וקטור שייך לאיזה שהוא <math>B_j\in C</math>. כיוון ש C שרשרת אזי כל הוקטורים נמצאים באותה קבוצה. כלומר <math>\exists k\in I \forall i : v_i \in B_k</math> כיוון ש <math>B_k</math> קבוצה בת"ל נקבל שכל המקדמים שווים לאפס. ט: <math>B</math> פורשת (ולכן מהווה בסיס). ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. ולכן אם נוסיף קבוצה זאת ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)