לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-212 תשעב סמסטר ב/תקצירי הרצאות
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== הרצאה שלוש-עשרה === תחום '''אטומי''' הוא תחום שלמות שבו כל איבר אפשר לכתוב כמכפלה של אי-פריקים (יש בו "מספיק" אי-פריקים). כל החוגים <math>\ \mathcal{O}_D</math> הם אטומיים, בזכות הנורמה הכפלית. תחום שלמות מקיים את '''תנאי שרשרת המחלקים''' אם אין בו שרשרת אינסופית של מחלקים אמיתיים, <math>\ \cdots | a_3 | a_2 | a_1</math> (שרשראות בכיוון ההפוך תמיד יש!). כל תחום שלמות בעל תכונה זו הוא אטומי. מתברר שהתנאי שקול לכך שלא תהיה בחוג שרשרת עולה של אידיאלים *ראשיים* (שרשראות יורדות תמיד יש). הכללת התנאי על שרשראות אידיאלים מובילה אותנו להגדרה של '''חוג נתרי''': חוג שבו אין שרשרת עולה של אידיאלים (זו ההגדרה למקרה הקומוטטיבי; במקרה הלא-קומוטטיבי "חוג נתרי שמאלי" הוא חוג שבו אין שרשרת עולה של אידיאלים שמאליים, וכך אפשר להגדיר גם "חוג נתרי ימני"; התכונות אינו שקולות זו לזו). כמובן, כל חוג נתרי מקיים את תנאי שרשרת המחלקים, ולכן הוא אטומי. '''משפט'''. חוג (קומוטטיבי) הוא נתרי אם ורק אם כל אידיאל שלו נוצר סופית. אידיאל הנוצר על-ידי איבר אחד נקרא '''אידיאל ראשי''' (אין שום קשר לראשוניות). תחום שלמות שבו כל אידיאל הוא ראשי נקרא '''תחום ראשי'''. כמובן, כל תחום ראשי הוא נתרי. בפרט, חוג המספרים השלמים הוא נתרי. כל חוג מנה של חוג נתרי גם הוא נתרי. '''משפט הבסיס של הילברט'''. אם R חוג נתרי, אז גם חוג הפולינומים <math>\ R[x]</math> נתרי. רעיון ההוכחה: אם יש בחוג הפולינומים אידיאל I שאינו נוצר סופית, אז יש ב-R שרשרת עולה של אידיאלים, הנוצרים על-ידי המקדמים של פולינומים מ-I. לכן, באינדוקציה, <math>\ F[x_1,\dots,x_n]</math> נתרי לכל שדה F. מכאן נובע שכל חוג קומוטטיבי נוצר סופית הוא נתרי.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)