לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
89-214 סמסטר א' תשעא/תקצירים
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== הרצאה שתים-עשרה == לכל איבר a בחוג R, קבוצת הכפולות <math>\ Ra = \{xa : x \in R\}</math> של a היא אידיאל; אידיאל מסוג זה נקרא '''אידיאל ראשי'''. הגדרנו אידיאל מקסימלי; אידיאל (בחוג קומוטטיבי) הוא מקסימלי אם ורק אם המנה ביחס אליו היא שדה; בפרט, אידיאל האפס מקסימלי אם ורק אם החוג הוא שדה. הגדרנו אידיאל ראשוני. אידיאל הוא ראשוני אם ורק אם המנה ביחס אליו היא '''תחום שלמות''' (כלומר, חוג קומוטטיבי שאין בו מחלקי אפס. איבר <math>\ a \neq 0</math> הוא מחלק אפס אם יש איבר <math>\ b\neq 0</math> כך ש- <math>\ ab = 0</math>). בפרט, אפס הוא אידיאל ראשוני אם ורק אם החוג הוא תחום שלמות. כל תת-חוג של שדה הוא תחום שלמות (גם ההיפך נכון: כל תחום שלמות מוכל בשדה, הקרוי "שדה השברים" שלו). בפרט, כל שדה הוא תחום שלמות, ולכן כל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני. התכונות הבסיסיות של אברים בתחום שלמות סובבות סביב יחס החלוקה. כמו בשעור הראשון, <math>\ a|b</math> (קרי, a מחלק את b) אם קיים בחוג איבר c כך ש- <math>\ b = ac</math>. איבר הוא הפיך (ביחס לכפל!) אם ורק אם הוא מחלק את 1. מגדירים יחס '''חברות''', <math>\ a\sim b</math> אם a ו-b מחלקים זה את זה; באופן שקול, אם אחד מהם הוא כפולת השני באיבר הפיך. (שימו לב שהשקילות מניחה שבחוג אין מחלקי אפס). איבר הוא אי-פריק אם אין לו מחלקים פרט לחבריו וההפיכים. איבר הוא ראשוני אם כשהוא מחלק מכפלה הוא מוכרח לחלק את אחד הגורמים שלה. p הוא איבר כזה אם ורק אם האידיאל הראשי ש-p יוצר, Rp, הוא ראשוני. כל איבר ראשוני הוא אי-פריק (אבל ההיפך לא בהכרח נכון). בכל תחום שלמות, אם איבר מתפרק כמכפלה של גורמים ראשוניים, אז אין לו פירוק אחר לגורמים אי-פריקים. הגדרנו '''חוג אוקלידי''', והראינו שאם a,b שונים מאפס, אז <math>\ d(a)=d(ab)</math> אם ורק אם b הפיך. מכאן נובע באינדוקציה שכל איבר בחוג אוקלידי הוא מכפלה של איברים אי-פריקים. הוכחנו גם שכל אידיאל של חוג אוקלידי הוא ראשי (לדוגמא, האידיאל <math>\ \mathbb{Z}n+\mathbb{Z}m</math> של <math>\ \mathbb{Z}</math> הוא ראשי; זהו המשפט שהוכחנו בשעור הראשון). מכאן נובע שבחוג אוקלידי, כל איבר אי-פריק יוצר אידיאל מקסימלי, ולכן הוא ראשוני. כלומר, בחוג אוקלידי המושגים "ראשוני" ו"אי-פריק" מתלכדים. בתרגיל תראו שחוג הפולינומים מעל שדה, <math>\ F[\lambda] = \{a_n\lambda^n+\cdots+a_1\lambda+a_0 : a_0,\dots,a_n\in F\}</math>, הוא חוג אוקלידי. מכאן שכל פולינום מתפרק לגורמים אי-פריקים באופן יחיד, ושהאידיאל הנוצר על-ידי איבר אי-פריק הוא מקסימלי.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)