לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
====תרגיל==== בדקו באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות, ומצאו את הנגזרת בנקודות אלו: 1. <math>f(x+yi)=e^x\text{cis}y</math> 2. <math>f(z)=z+Re(z)</math> 3. <math>f(z)=(z-1)(Re(z))^2</math> 4. <math>f(x+yi)=x+y^3i</math> =====פתרון===== 1. נקבל: <math>U_x=e^x\cos x,U_y=-e^x\sin y,V_x=e^x\sin y,V_y=e^x\cos y</math>. ואכן מתקיים תנאי קושי-רימן בכל נקודה. לכן זו פונקציה גזירה בכל נקודה שנגזרתה: <math>U_x+V_xi=e^x\cos x+e^x\sin yi=e^x\text{cis}y</math>. שימו לב מה קיבלנו - הנגזרת שלה זה היא בעצמה!! 2. לא גזירה באף נקודה כי נקבל <math>Re(z)=f(z)-z</math>, ואם היא גזירה בנקודה אז גם פונקציית החלק הממשי גזירה שם, כהפרש גזירות, בסתירה לכך שהיא לא גזירה באף נקודה. 3. נרשום: <math>f(x+yi)=x^2(x+yi-1)=x^3-x^2+x^2yi</math>. נמצא נגזרות חלקיות: <math>U_x=3x^2-2x,U_y=0,V_x=2xy,V_y=x^2</math>. נבדוק מתי התנאי מתקיים: <math>U_x=V_y\iff 3x^2-2x=x^2\iff x(x-2)=0\iff x=0\lor x=2</math>. <math>U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0</math>. שני התנאים מתקיים כאשר: <math>(x=0\lor x=2)\land (x=0\lor y=0)\equiv x=0\lor (x=2\land y=0)</math>. כלומר גזירה בציר המדומה, ובנקודה <math>(2,0)</math>. הנגזרת שם היא: <math>U_x+V_xi=3x^2-2x+2xyi</math>. נשים לב שעל הציר המדומה <math>x=0</math> ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה <math>(2,0)</math> נקבל <math>f'(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8</math>. 4. נקבל את הנגזרות החלקיות: <math>U_x=1,U_y=0V_x=0,V_y=3y^2</math>. נבדוק את התנאי: <math>U_x=V_y\iff 1=3y^2\iff y^2=\frac{1}{3}\iff y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. <math>U_y=-V_x</math> תמיד. לכן רק בנקודות <math>z=x\pm\frac{1}{\sqrt{3}}i</math> הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: <math>U_x+V_xi=1</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)