לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הרצאה 4 הומומורפיזמים, איזומורפיזמים, משפט קיילי, משפט לגראנג'; פרקים 9 ו6 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] == ===הומומורפיזם, איזומורפיזם=== *הגדרה: תהיינה שתי חבורות G,H ותהי פונקציה <math>f:G\to H</math>. אזי f נקראת '''הומומורפיזם''' אם לכל <math>a,b\in G</math> מתקיים <math>f(a\cdot_G b)=f(a)\cdot_H f(b)</math>. *שימו לב ש <math>\cdot_G</math> היא הפעולה של G, ו<math>\cdot_H</math> היא הפעולה של H. *הומומורפיזם שהוא פונקציה חח"ע ועל נקרא איזומורפיזם. *הומומורפיזם שומר במובן מסויים על המבנה של החבורה, ואיזומורפיזם מראה שהחבורות הן 'אותה גברת בשינוי אדרת'. *תכונות: **אם <math>f:G\to H</math> הומומורפיזם אזי <math>f(e_G)=e_H</math>. ***הוכחה: ***<math>f(e_G)=f(e_G\cdot e_G)=f(e_G)\cdot f(e_G)</math>. ***לפי תכונת הצמצום <math>f(e_G)=e_H</math>. **אם f הומומופיזם אזי <math>o(f(a))\leq o(a)</math>. ***אם <math>o(a)=n</math> אזי <math>a^n=e_G</math>. ***לכן <math>f(a^n)=\left(f(a)\right)^n=e_H</math>. ***לכן <math>o(f(a))\leq n=o(a)</math>. **אם f איזומורפיזם אזי <math>o(f(a))= o(a)</math>. ***נניח כי <math>o(a)=n</math>, הוכחנו ש<math>o(f(a))\leq n</math>. ***נסמן <math>o(f(a))=k</math>. ***לכן <math>\left(f(a)\right)^k=e_H</math>, ולכן <math>f(a^k)=e_H</math>. ***כיוון שאיזומורפיזם הינו פונקציה חח"ע, נובע כי <math>a^k=e_G</math>, כלומר <math>o(a)\leq k</math>. ***ביחד <math>k=n</math>. ***לבסוף, נובע <math>o(f(a))</math> סופי אם"ם <math>o(a)</math> סופי, ולכן הם שווים גם אם אחד מהם הוא אינסוף. **אם f הומומורפיזם אזי <math>f(a^{-1})=\left(f(a)\right)^{-1}</math> (שימו לב שf לא צריכה להיות הפיכה, והסימון <math>f^{-1}(a)</math> לא בהכרח מוגדר ואינו קשור). ***אכן <math>f(a)\cdot f(a^{-1})=f(e_G)=e_H</math>. *הגדרה: גרעין של הומומורפיזם הוא אוסף האיברים שנשלחים לאיבר היחידה. *טענה: התמונה והגרעין של הומומורפיזם הינם תתי חבורות של הטוווח והתחום בהתאמה. **הוכחה לגבי התמונה: **יהי הומומורפיזם <math>f:G\to H</math>. **ראשית, <math>f(e_G)=e_H</math> ולכן <math>e_H\in Im(f)</math>. **שנית, יהיו <math>h_1,h_2\in Im(f)</math> לכן קיימים <math>g_1,g_2\in G</math> כך ש <math>f(g_i)=h_i</math>. **<math>h_1\cdot h_2^{-1}=f(g_1)\cdot \left(f(g_2)\right)^{-1}=f(g_1\cdot g_2^{-1})\in Im(f)</math>. **סה"כ הוכחנו כי <math>Im(f)</math> הינה תת חבורה של <math>H</math>. ===משפט קיילי=== *שיכון קיילי: **תהי חבורה <math>G</math> ונגדיר את S להיות חבורת הפונקציות ההפיכות מ<math>G</math> לעצמה עם פעולת ההרכבה (חבורת תמורות). **לכל איבר <math>a\in G</math> נגדיר את התמורה המתאימה לו <math>f_a\in S</math> המוגדרת ע"י <math>f_a(x)=a\cdot x</math>. ***הוכחה ש<math>f_a\in S</math>: ***חח"ע: אם <math>f_a(x_1)=f_a(x_2)</math> אזי <math>a\cdot x_1=a\cdot x_2</math> ולפי תכונת הצמצום <math>x_1=x_2</math>. ***על: עבור <math>y\in G</math> מתקיים כי <math>f_a(a^{-1}\cdot y)=a\cdot(a^{-1}\cdot y) =(a\cdot a^{-1})\cdot y=y </math> **הפונקציה <math>\varphi:G\to S</math> השולחת כל איבר לתמורה המתאימה לו <math>\varphi(a)=f_a</math> נקראת '''שיכון קיילי'''. *תכונות: *שיכון קיילי הינו הומומורפיזם. **<math>\varphi(a)\circ\varphi(b)=f_a\circ f_b</math>. **<math>f_a\circ f_b (x)=f_a(f_b(x))=a\cdot (b\cdot x)=(a\cdot b)\cdot (x) = f_{a\cdot b}(x)</math>. **לכן <math>\varphi(a)\circ\varphi(b)=\varphi(a\cdot b)</math>. *שיכון קיילי הינו חח"ע (לכן הוא נקרא שיכון). **אם <math>a\neq b</math>, אזי <math>f_a(e)=a\neq b=f_b(e)</math>. **כלומר <math>f_a\neq f_b</math> ולכן <math>\varphi(a)\neq\varphi(b)</math>. *מסקנה: '''משפט קיילי''' כל חבורה איזומורפית לתת חבורה של חבורת תמורות. **הוכחה: החבורה איזומורפית לתמונה שלה בשיכון קיילי. ===משפט לגראנג'=== *תהי חבורה G ותת חבורה H. יהי <math>a\in G</math>, נגדיר את '''המחלקה''' <math>a\cdot H:=\{a\cdot h:h\in H\}</math>. *אלה הן למעשה מחלקות השקילות של היחס <math>aRb\iff a^{-1}b\in H</math> **הוכחה שמדובר ביחס שקילות: ***רפלקסיביות: <math>a^{-1}a=e\in H</math> ***סימטריות: אם <math>a^{-1}b\in H</math> אזי גם ההופכי שלו <math>(a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H</math> ***טרנזיטיביות: נניח <math>a^{-1}b,b^{-1}c\in H</math> אזי לפי סגירות גם <math>a^{-1}bb^{-1}c=a^{-1}c\in H</math> **אכן <math>[a]_R=\{b|aRb\}=\{b|a^{-1}b=h\in H\}=\{b|b=ah,h\in H\}=a\cdot H</math> *טענה: לכל איבר <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>|a\cdot H|=|H|</math>. **הוכחה: **נביט בפונקציה <math>f:H\to a\cdot H</math> המוגדרת ע"י <math>f(h)=a\cdot h</math> ונוכיח שהיא חח"ע ועל. **חח"ע: אם <math>f(h_1)=f(h_2)</math> אזי <math>a\cdot h_1=a\cdot h_2</math> ולפי תכונת הצמצום <math>h_1=h_2</math>. **על: יהי <math>a\cdot h\in a\cdot H</math>, ברור ש<math>f(h)=a\cdot h</math>. *הגדרה: האינדקס <math>[G:H]</math> מוגדר להיות מספר המחלקות השונות ש<math>H</math> מגדירה. *כיוון שראינו שהמחלקות הן בעצם מחלקות שקילות שוות בגודלן המחלקות את G, נובע '''משפט לגראנג' ''':עבור חבורות סופיות, <math>|G|=|H|\cdot [G:H]</math>. *נובע כי הגודל (סדר) של כל תת חבורה, מחלק את הגודל (סדר) של החבורה כולה. *יהי <math>a\in G</math> איבר מסדר <math>n</math>. ראינו כי <math>|<a>|=n</math>, ולכן ביחד סדר האיבר מחלק את גודל החבורה. *תהי חבורה סופית עם מספר ראשוני של איברים, אזי היא חבורה ציקלית. **אכן, ניקח איבר שונה מהנייטרלי, הסדר שלו חייב להיות המספר הראשוני (כי לראשוני אין מחלקים), ולכן החבורה הציקלית שלו שווה לכל החבורה. *לפני הרצאה זו, חזרו בבקשה על הנושא של יחסי שקילות. ניתן לצפות בסרטון הבא: <videoflash>jKprPSfRysE</videoflash>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)