לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===מחלקות שקילות וקבוצת המנה=== הגדרה: יהא R יחס שקילות על A אזי # לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math> # ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math> למשל, בדוגמא הראשונה <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math> משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי # לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות) # <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A) הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A מסקנה: תהא A קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על A } <math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של A} חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת. ====תרגיל==== כמה יחסי שקילות שונים יש על <math>A=\{1,2,3\}</math>? פתרון: נספור לפי חלוקות ונגלה כי התשובה היא 5. ====תרגיל==== תהי <math>A=\{1,2,3\}</math> קבוצה. השלם את היחסים הבאים מעליה על מנת שיקיימו את התכונות הנדרשות בשאלה (השלם - כלומר הוסף זוגות סדורים '''הכרחיים'''): *השלם את <math>R=\{(1,2)\}</math> להיות יחס סימטרי וטרנזיטיבי. האם אחרי ההשלמה קיבלת יחס שקילות? *השלם את הקבוצה הריקה ליחס שקילות. איך קוראים ליחס שקיבלת? מהן מחלקות השקילות? =====פתרון===== 1. <math>R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}</math> זה אינו יחס שקילות מכיוון שאינו רפלקסיבי - (3,3) חסר. 2. <math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}</math>. זהו יחס השיוויון, מחלקות השקילות שלו הינן [1],[2],[3]. ====תרגיל==== ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> (המוגדר ע"י שההפרש שייך לשלמים) והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו: א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>. ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>. ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>. =====פתרון===== א. יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים). ב. יהיו <math>x\neq y</math>. בה"כ <math>x>y</math>, ולכן <math>x-y>0</math>. מאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים. ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם. ====תרגיל==== על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>: <math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>. הוכיחו שזהו יחס שקילות ('''חשוב להדגיש איך בודקים יחס שקילות על זוגות סדורים!!!'''). מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה? =====פתרון===== מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית (כלומר: קבוצה של קבוצות של זוגות סדורים שהם הנק' על כל מעגל לפי הרדיוס שלו). ==== תרגיל ==== תהא <math>A</math> קבוצה ותהא <math>S\subseteq A</math> ת"ק שלה. נגדיר יחס <math>\sim</math> על <math>P(A)</math> ע"י הכלל <math>B_1\sim B_2 \iff B_1 \cup S=B_2\cup S</math> * הוכיחו כי זהו יחס שקילות. * עבור <math>S=\{1,7,9,10\},A=\{1,2,\dots 10\}</math> מצאו את מספר האיברים ב <math>P(A)/\sim</math> =====פתרון===== * יש לבדוק פשוט שהתכונות של יחס שקילות מתקיימות לפי הגדרת היחס הנתון. * נשים לב ששתי קבוצות ב-(P(A שקולות זו לזו אם ורק אם הן נבדלות זו מזו רק באיברים השייכים ל-S (אפשר להוכיח), כלומר: אם ההפרש הסימטרי שלהן מוכל ב-S. לכן, אם אנו רוצים לספור מחלקות שקילות (שונות), עלינו לספור כמה אפשרויות יש לחלק של ההפרש הסימטרי שאינו מוכל ב-S (החלק שמוכל אינו משפיע). כיוון שחלק זה יכול להיות כל תת קבוצה של המשלים של S (ביחס ל-A), וכיוון שבמשלים זה יש 6 איברים, נקבל שישנן 6^2 אפשרויות, ולכן זהו מספר מחלקות השקילות, כלומר: גודל קבוצת המנה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)