לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==חסמים== '''הגדרות.''' יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי: *חסם מלעיל של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math> *חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math> *החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>sup(B)</math> *החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>inf(B)</math> ====דוגמא.==== נשוב לדוגמא הקודמת. נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון. ====דוגמא==== נביט במספרים הממשיים ובתת הקבוצה של כל המספרים עם מספר סופי של ספרות ששווים לספרות הראשונות של שורש 2. <math>B=\{1,1.4,1.41,1.414,1.4142,...\}</math>. חסמי המלעיל של הקבוצה הינם כל המספרים שגדולים או שווים לשורש 2 ואילו שורש 2 הוא החסם העליון של הקבוצה. שימו לב, אם נביט בקבוצה B כתת קבוצה של המספרים הרציונאליים, חסמי המלעיל שלה יהיו כל האיברים הגדולים משורש 2 אך מכיוון ששורש 2 אינו רציונאלי, אין לB חסם עליון. ====דוגמא (בהרצאה בד"כ)==== נביט בקבוצת הטבעיים, ובתת קבוצה סופית שלה B. נביט ביחס "מחלק את". הסופרמום של B הוא המכפלה המשותפת המינימלית (lcm), והאינפימום הוא המחלק המשותף המקסימלי(gcd). למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math> ====דוגמא (בהרצאה בד"כ)==== עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף תתי קבוצות של A. החסם העליון שלה ב <math>(P(A),\subseteq)</math> הוא <math>\cup _{i\in I} A_i </math> והחסם התחתון (אם זה אוסף לא ריק) שלהם הוא<math>\cap_{i\in I}A_i</math> ==== תרגיל==== מצאו <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math> כך שבקבוצה הסדורה <math>(X,\subseteq)</math> קיים B שאין לו חסם עליון. ==== תרגיל==== עבור <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>, נסתכל בקבוצה הסדורה <math>(X,\subseteq)</math> וב <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף תתי קבוצות של <math>\mathbb{N}</math>. הוכיחו/הפריכו: אם <math>\cup_{i\in I}A_i \not\in X</math> אזי ל <math>\{A_i\mid i\in I\}</math> אין חסם עליון. === יחס סדר מילוני === יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית. על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את '''היחס המילוני''' <math>R</math> ע"י <math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 < a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2)</math> ==== דוגמא ==== נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> עם הסדר המילוני. נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>sup(B)=(2,1),inf(B)=(1,1)</math> נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים. *שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר === מכפלה של יחסי סדר === יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית. על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את היחס <math>R</math> הבא: <math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 \leq a_2) \land ( b_1 \preceq b_2)</math> זהו יחס סדר: הוכחה: 1. רפקלסיביות: לכל <math>a,b</math> מתקיים כי <math>a\leq a, b\preceq b</math> ולכן <math>(a,b)R(a,b)</math> 2. אנטי סימטריות: אם <math>(a,b)R(a1,b1)</math> וגם <math>(a1,b1)R(a,b) </math> אז <math>a\leq a1, b\preceq b1</math> וגם <math>a1\leq a, b1 \preceq b</math>, כיוון שאלו יחס סדר נקבל כי <math>a=a1,b=b1</math> 3. טרנז' - תרגיל ==== דוגמה ==== נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> אם הסדר המוגדר לעיל. נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים. *שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר. ==== תרגיל ==== נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> ותתי הקבוצות *<math>B_1 = \{(4,-x) | x\in \mathbb{N} \}</math> *<math>B_2 = \{(4,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> *<math>B_3 = \{(x,4) | x\in \mathbb{N} \}</math> #מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_2,B_3</math> כאשר <math>(\mathbb{N},\leq)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם יחס המכפלה #מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_1,B_2</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם היחס המילוני ==== תרגיל ==== נסתכל על <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> ותתי הקבוצה <math>B = \{(4,\frac{1}{n+1}) | n\in \mathbb{N} \}</math> מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(0,1],\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> עם היחס המילוני ==== תרגיל ==== יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שני יחסי סדר משווים הוכיחו/הפריכו: #יחס המכפלה על <math>A\times B</math> הוא משווה. #היחס המילוני על <math>A\times B</math> הוא משווה. ==== תרגיל ==== #תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> לא סופי המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\inf B\right\} =\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}</math> . #תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}=\emptyset</math> .
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)