לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
89-214 סמסטר א' תשעא/תקצירים
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== הרצאה שלוש-עשרה == המטרה היא לבנות שדות סופיים. הגדרנו את ה'''מאפיין''' של שדה, שהוא הסדר של 1 בחבורה החיבורית של השדה (אם הסדר הוא אינסופי, אומרים שהמאפיין שווה לאפס. לפי ההגדרה הזו, המאפיין הוא היוצר של הגרעין של ההומומורפיזם היחיד מחוג השלמים אל השדה). המאפיין הוא תמיד אפס או מספר ראשוני. לשדה סופי יש מאפיין ראשוני. כל שדה ממאפיין ראשוני p מכיל עותק של השדה מסדר p. אם שדה מכיל תת-שדה, אז הוא מהווה מרחב וקטורי מעליו, ויש לו מימד. מספר האברים במרחב וקטורי n ממדי מעל שדה F שווה ל- <math>\ |F|^n</math>, ולכן מספר האברים בכל שדה סופי הוא חזקה של ראשוני. לפולינום <math>\ f(\lambda)</math> יש שורש a אם ורק אם <math>\ (\lambda-a)|f(\lambda)</math>. בגלל הפירוק היחיד לגורמים, נובע מכאן שמספר השורשים של פולינום חסום על-ידי המעלה שלו. לכל פולינום f, חוג המנה <math>\ F[\lambda]/\langle f(\lambda)\rangle</math> הוא מרחב וקטורי ממימד השווה למעלת f; אם f אי-פריק, זהו שדה, המכיל שורש של הפולינום. באינדוקציה, יוצא מזה שאפשר לבנות לכל פולינום "שדה מפצל" (שהוא שדה שבו הפולינום מתפרק למכפלה של גורמים ליניאריים). כדי לבנות שדה מסדר <math>\ q=p^n</math>, מתבוננים בפולינום <math>\ \lambda^q - \lambda</math> מעל השדה מסדר p. בתוך שדה מפצל שלו, כל השורשים שונים זה מזה, ולכן יש בדיוק q שורשים. בשל האדיטיביות של העלאה בחזקת q, מתברר שאוסף השורשים הוא שדה - מסדר q, כנדרש. לכל n יש פולינום אי-פריק ממעלה n מעל השדה מסדר p, ופולינומים כאלה מאפשרים לבנות את השדה מסדר <math>\ p^n</math> באופן ישיר. אם מקדישים תשומת לב רבה יותר לשדות פיצול, אפשר להוכיח שהשדה מסדר q הוא יחיד (עד כדי איזומורפיזם).
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)